EQUAZIONI IRRAZIONALI RISOLVIBILI IN MODO IMMEDIATO
- Equazioni irrazionali
- Dominio di un'equazione irrazionale
- Come si risolvono le equazioni irrazionali
- Tipi di equazioni
- Numeri razionali
Nelle lezione precedente abbiamo detto che, nella maggior parte dei casi, le equazioni irrazionali vengono risolte elevando a potenza entrambi i membri dell'equazione, una o più volte, fino a che essa non viene trasformata in un'equazione razionale.
Tuttavia, a volte, l'equazione irrazionale si presenta in maniera tale che è possibile risolverla in MODO IMMEDIATO, senza che sia necessaria la sua trasformazione in un'equazione razionale: si tratta di casi nei quali è sufficiente procedere ad un semplice ragionamento.
Di seguito riportiamo alcuni casi nei quali è possibile procedere in tal modo.
1° CASO
Equazione irrazionale del tipo
con
n PARI
e
k che rappresenta un NUMERO RAZIONALE NEGATIVO.
Essendo l'INDICE della radice PARI, affinché l'equazione abbia significato è necessario che il RADICANDO sia MAGGIORE o UGUALE a zero: quindi il radicando deve essere o un numero positivo o lo zero. Ma la radice di un numero positivo è, a sua volta, un NUMERO POSITIVO. Invece, la radice ennesima di zero è sempre pari a ZERO. Quindi, in entrambi i casi, la radice ennesima di A(x) non potrà essere un numero negativo.
Quindi, senza bisogno di risolverla, possiamo dire che l'equazione è IMPOSSIBILE: in altre parole non ha soluzioni.
Esempi:
sono tutte equazioni impossibili, che non ammettono soluzioni.
2° CASO
Equazione irrazionale del tipo
con
n PARI.
Poiché l'INDICE delle due radici è PARI, affinché l'equazione abbia significato è necessario che il RADICANDO di entrambe le radici sia MAGGIORE o UGUALE a zero: quindi i due radicandi dovranno essere o un numero positivo o lo zero. Sappiamo anche che la radice di un numero positivo è, a sua volta, un NUMERO POSITIVO, mentre la radice ennesima di zero è sempre pari a ZERO. Quindi, affinché la somma delle due radici sia uguale a zero è necessario che
A(x) = 0
e
B(x) = 0.
Tuttavia, se i due radicandi sono diversi, si annulleranno per valori diversi e, quindi, non si verificherà contemporaneamente la condizione che
A(x) = 0
E
B(x) = 0.
Quindi l'equazione è IMPOSSIBILE.
Esempio:
Dovremmo porre
4x = 0
e
2x - 1 = 0
da cui ricaviamo
x = 0
e
2x = 1 -> x =1/2.
E' chiaro che non potranno essere soddisfatte contemporaneamente entrambe le condizioni, quindi l'equazione è impossibile.
Un'equazione di questo tipo ammette soluzioni solamente se
A(x) = B(x).
Esempio:
Ponendo
x - 2 = 0
e
x - 2 = 0
otteniamo
x = 2
e
x = 2.
E' chiaro che l'equazione è verificata per
x = 2.
Infatti, in questo caso avremo:
3° CASO
Equazione irrazionale del tipo
con
n PARI.
Come abbiamo già avuto modo di dire, la somma di due radici di indice pari è uguale a zero solamente se i due radicandi sono uguali a zero, cioè se:
x2 + x = 0
e
x = 0.
Ma ciò si verifica solamente per
x = 0.
Esempio:
Per quanto detto sopra essa è vera solamente se
x = 0.
