DISEQUAZIONI FRATTE CON VALORE ASSOLUTO

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Continuiamo l'esame delle DISEQUAZIONI FRATTE con VALORE ASSOLUTO iniziato nella lezione precedente ed occupiamoci delle disequazioni che si presentano nella forma

Risoluzione di disequazioni fratte con valore assoluto



Queste disequazioni si risolvono in maniera analoga a disequazioni del tipo:

|D(x)| > C(x) |D(x)| ≥ C(x)

|D(x)| < C(x) |D(x)| ≤ C(x).



Occorrerà ricordarsi sempre di porre il DENOMINATORE DIVERSO DA ZERO per le ragioni che abbiamo illustrato nella lezione precedente.



Vediamo un esempio per comprendere meglio come procedere.

Esempio:

Risoluzione di disequazioni fratte con valore assoluto

Nelle disequazioni del tipo

|D(x)| ≥ C(x)



avevamo detto che, per prima cosa dobbiamo studiare il segno della espressione presente nel modulo.

Quindi si tratta di risolvere:

Risoluzione di disequazioni fratte con valore assoluto

Dallo studio delle disequazioni sappiamo che occorre studiare separatamente il segno del numeratore e quello del denominatore. Quindi:

  • NUMERATORE

    x + 4 ≥ 0

    x ≥ - 4



  • DENOMINATORE

    x - 2 > 0

    Al denominatore mettiamo solamente il segno di maggiore, e non quello di uguale, dato che dobbiamo escludere il caso in cui il denominatore sia uguale a zero per le osservazioni fatte sopra.

    Avremo

    x > 2.


Andiamo a studiare il segno della nostra frazione:

Risoluzione di disequazioni fratte con valore assoluto

La frazione è positiva, o uguale a zero, quando

x < -4 ˅ x > 0

che si legge

x minore o uguale di meno -4

oppure

x maggiore di 2.



A questo punto dobbiamo vedere come cambia la nostra disequazione con valore assoluto, al variare del valore della frazione presente nel modulo. Disegniamo il risultato ottenuto su un altro grafico:



Risoluzione di disequazioni fratte con valore assoluto



Il grafico è diviso in tre parti, quindi dobbiamo scrivere e risolvere tre sistemi:

Risoluzione di disequazioni fratte con valore assoluto



Iniziamo col risolvere il primo sistema.

Risoluzione di disequazioni fratte con valore assoluto

Occupiamoci della seconda delle due disequazioni. Calcoliamo il minimo comune denominatore e moltiplichiamo entrambe per esso. Otterremo

(3x - 6) · (x + 4) < (5x + 1) · (x - 2)

3x2 + 12x -6x -24 < 5x2 - 10x + x - 2

3x2 - 5x2 + 12x - 6x + 10x - x - 24 + 2 < 0

-2x2 + 15x - 22 < 0

2x2 - 15x + 22 > 0

Risoluzione di disequazioni fratte con valore assoluto



Le soluzioni della disequazione sono

x < 2 ˅ x > 11/2.



Le soluzioni del sistema sono

Risoluzione di disequazioni fratte con valore assoluto

ovvero

x < - 4.



Passiamo al secondo sistema.

Risoluzione di disequazioni fratte con valore assoluto

Occupiamoci della seconda delle due disequazioni. Avremo:

(3x - 6) · (-x - 4) < (5x + 1) · (x - 2)

- 3x2 - 12x + 6x + 24 < 5x2 - 10x + x - 2

- 3x2 - 5x2 - 12x + 6x + 10x - x + 24 + 2 < 0

-8x2 + 3x + 26 < 0

8x2 - 3x - 26 > 0

Risoluzione di disequazioni fratte con valore assoluto



Le soluzioni della disequazione sono

x < -13/8 ˅ x > 2.



Le soluzioni del sistema sono

Risoluzione di disequazioni fratte con valore assoluto

ovvero

- 4 ≤ x < - 13/8.



Concludiamo con l'ultimo sistema:

Risoluzione di disequazioni fratte con valore assoluto

La seconda disequazione l'abbiamo già risolta e sappiamo che le sue soluzioni sono:

x < 2 ˅ x > 11/2.



Il sistema, quindi, avrà le seguenti soluzioni:

Risoluzione di disequazioni fratte con valore assoluto

x > 11/2.



Le soluzioni della disequazione di partenza, quindi, sono:

x < - 4 ˅ - 4 < x < -13/8 ˅ x > 11/2



ma poiché

Risoluzione di disequazioni fratte con valore assoluto



possiamo scrivere la nostra soluzione come

x < -13/8 ˅ x > 11/2.



Nella prossima lezione continueremo ancora a parlare delle disequazioni fratte con valore assoluto.

 
 
 
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