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TRIANGOLO di TARTAGLIA: un altro ESEMPIO

 

Per comprendere  

 

Nella lezione precedente abbiamo spiegato cos'è e come si usa il TRIANGOLO di TARTAGLIA. In particolare abbiamo visto come esso è utile per sviluppare una potenza del tipo 

 

(a + b)n.

 

 

Vediamo ora come possiamo applicare  per il TRIANGOLO di TARTAGLIA per sviluppare, anziché la potenza della somma di due monomi, la potenza della differenza di due monomi, ovvero:

 

(a - b)n.

 

Parlando dei numeri relativi abbiamo appreso che la differenza di due numeri relativi si ottiene aggiungendo al primo l'opposto del secondo.

Quindi

(a - b)n.

Allora a - b può essere scritto anche come:

a - b = a + (- b).

Quindi

(a - b)n = [a + (- b)]n.

 

E' evidente, allora, che lo SVILUPPO di (a - b)n si ottiene da quello di  (a + b)n  SOSTITUENDO al posto di b il suo opposto -b.

 

Di conseguenza:

  • i TERMINI che contengono b con ESPONENTE PARI restano INVARIATI;

  • i TERMINI che contengono b con ESPONENTE DISPARI CAMBIANO di SEGNO.

 

Cerchiamo di comprendere quanto detto con un esempio:

(a - b)7.

 

Scriviamo il nostro POLINOMIO OMOGENEO (cioè un polinomio che ha tutti i TERMINI dello stesso grado) di GRADO n, ORDINATO secondo le potenze DECRESCENTI di a e CRESCENTI di b.

Iniziamo, quindi, a scrivere la parte letterale del polinomio cercato:

a7 + a6b + a5b2 + a4b3 + a3b4 + a2b5 + ab6 + b7.

 

Ora, con l'aiuto del TRIANGOLO di TARTAGLIA cerchiamo i nostri coefficienti che andranno presi dalla riga. 

Triangolo di Tartaglia

 

Iniziamo con a7 che ha come coefficiente 1:

a7 + a6b + a5b2 + a4b3 + a3b4 + a2b5 + ab6 + b7.

 

Nel secondo termine (a6b), b compare con esponente dispari (1), quindi il coefficiente cambia di segno e diventa -7:

a7 -7a6b + a5b2 + a4b3 + a3b4 + a2b5 + ab6 + b7.

 

Nel terzo termine (a5b2), b compare con esponente pari, quindi il coefficiente rimane invariato:

a7 -7a6b + 21a5b2 + a4b3 + a3b4 + a2b5 + ab6 + b7.

 

Nel quarto termine (a4b3), b compare con esponente dispari, quindi il coefficiente cambia di segno e diventa :

a7 -7a6b + 21a5b2 - 35a4b3 + a3b4 + a2b5 + ab6 + b7.

 

Nel quinto termine (a3b4), b compare con esponente pari, quindi il coefficiente rimane invariato:

a7 -7a6b + 21a5b2 - 35a4b3 + 35a3b4 + a2b5 + ab6 + b7.

 

Nel sesto termine (a2b5), b compare con esponente dispari, quindi il coefficiente cambia di segno e diventa -21:

a7 -7a6b + 21a5b2 - 35a4b3 + 35a3b4 - 21a2b5 + ab6 + b7.

 

Nel settimo termine (ab6), b compare con esponente pari, quindi il coefficiente rimane invariato:

a7 -7a6b + 21a5b2 - 35a4b3 + 35a3b4 - 21a2b5 + 7ab6 + b7.

 

Nell'ultimo termine (b7), b compare con esponente dispari, quindi il coefficiente cambia di segno e diventa -1:

a7 -7a6b + 21a5b2 - 35a4b3 + 35a3b4 - 21a2b5 + 7ab6 - b7.

 

 

Notiamo che i termini si succedono alternativamente con segno + e -.

 

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