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NUMERO delle DIAGONALI di un POLIGONO

 

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Quante diagonali ha un poligono?

Per rispondere a questa domanda dobbiamo sapere che esiste una formula per conoscere in modo rapido quante diagonali ha un poligono.

Chiamiamo con n il numero di lati del poligono. Ovvero:

n = numero di lati del poligono.

 

Avremo:

numero diagonali = [n· (n-3)]/ 2.

 

 

Ad esempio, vogliamo sapere qual è il numero delle diagonali di un esagono.

Dato che l'esagono ha 6 lati avremo:

n = 6

numero diagonali = [6 · (6-3)]/ 2 =

= (6 · 3)/2 = 18/2 = 9.

 

L'esagono ha nove diagonali.

Verifichiamolo provando a disegnare le diagonali dell'esagono:

 

 

 

Vediamo come si può arrivare allo stesso risultato, e a capire anche il senso di questa formula, con un ragionamento.

 

L'esagono ha 6 lati e, quindi, 6 vertici.

 

Prendiamo uno di questi vertici: il vertice A.

 

Numero delle diagonali di un poligono

 

Ora disegniamo tutte le diagonali che partono da A:

 

Numero delle diagonali di un poligono

 

 

Il vertice A si collega con i restanti vertici tranne i due consecutivi. 

 

Poiché nell'esagono ci sono 6 vertici, il vertice A si collega con altri 3 vertici, ovvero:

 

6 vertici - se stesso - 2 vertici consecutivi ad A.

 

 

Allo stesso modo il vertice B si collega con altri 3 vertici, ovvero:

 

Numero delle diagonali di un poligono

 

6 vertici - se stesso - 2 vertici consecutivi a B.

 

 

Quindi possiamo dire che ogni vertice si collega con i tutti i vertici del poligono, meno se stesso e meno i due consecutivi. 

In altre parole ogni vertice si collega con altri (6 - 3) vertici. Quindi da ogni vertice partono 3 diagonali.

Se da un vertice partono 3 diagonali, da 6 vertici partono 18 diagonali ( 6 x 3).

 

Però teniamo presente che la diagonale che collega, ad esempio, il vertice A al vertice E è la stessa che collega il vertice E al vertice A, quindi devo dividere le 18 diagonali per 2 ottenendo 9 diagonali.

 

Generalizzando, se ho n vertici, ogni vertice si collega con i restanti, tranne i due consecutivi. Quindi, essendo i vertici n, se ne prendo uno (e dunque considero i restanti n-1) esso si collega con n-3 (cioè n vertici meno se stesso e meno i due vertici consecutivi).

Se da un vertice partono n-3 diagonali, da n vertici partono [n · (n-3)] diagonali.

Tenendo conto che ogni diagonale è stata disegnata due volte, doppiamo dividere il risultato ottenuto per 2.

 

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