SECONDO TEOREMA DI LAPLACE
- Matrice
- Matrice quadrata
- Determinante di una matrice quadrata
- Calcolo del determinante di una matrice di ordine 1
- Calcolo del determinante di una matrice di ordine 2
- Calcolo del determinante di una matrice di ordine 3
- Minore complementare
- Complemento algebrico
- Primo teorema di Laplace
Dopo aver visto, nelle lezioni precedenti, il primo teorema di Laplace, ora parleremo del SECONDO TEOREMA DI LAPLACE.
Esso afferma che
- la SOMMA dei PRODOTTI degli ELEMENTI di una RIGA o di una COLONNA
- per i COMPLEMENTI ALGEBRICI degli ELEMENTI CORRISPONDENTI di un'ALTRA RIGA o COLONNA
- è uguale a ZERO.
Vediamo cosa significa quanto detto con un esempio.
Esempio.
Consideriamo la matrice A:
Ora scegliamo una riga o una colonna qualsiasi, ad esempio la seconda riga.
Ora scegliamo un'altra riga qualsiasi, ad esempio la terza.
E moltiplichiamo ogni elemento della seconda riga per il complemento algebrico del corrispondente elemento della terza colonna.
Quindi:
- moltiplichiamo 1 per il complemento algebrico di 9;
- moltiplichiamo 2 per il complemento algebrico di 0;
- moltiplichiamo -1 per il complemento algebrico di 4;
- ed infine sommiamo i risultati ottenuti.
Avremo:
1 · (-1)3+1 · M31+ 2 · (-1)3+2 · M32+ -1 · (-1)3+3 · M33.
Calcoliamo i complementi algebrici ed avremo:
= 1 · 1 ·[3·(-1) - (5·2)] + 2 · (-1) ·[2·(-1) - (5·1)] + (-1) · 1 ·[(2·2) - (3·1)] =
= 1 · 1 ·(-13) + 2 · (-1) ·(-7) + (-1) · 1 ·1 =
= -13 + 14 -1 = 0.
Come possiamo vedere il risultato ottenuto è ZERO.
