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MINORE COMPLEMENTARE

 

Per comprendere  

 

Nelle lezioni precedenti abbiamo detto che:

  • chiamiamo SOTTOMATRICE di A una matrice che si ottiene ELIMINANDO da A alcune RIGHE e/o COLONNE. Possiamo estrarre delle sottomatrici sia da una matrice quadrata che da una matrice non quadrata;

 

  • il termine MINORE si usa quando ci troviamo di fronte ad una SOTTOMATRICE QUADRATA.

 

Ora introduciamo il concetto di MINORE COMPLEMENTARE.

 

Consideriamo una MATRICE A QUADRATA, si dice MINORE COMPLEMENTARE di un suo elemento aij, il DETERMINANTE della SOTTOMATRICE che si ottiene da A eliminando la riga i-esima e la colonna j-esima.

 

E' importante sottolineare che il MINORE COMPLEMENTARE è definito solamente per MATRICI QUADRATE. Infatti, essendo il minore una sottomatrice quadrata di una matrice data, togliendo da una matrice una riga e una colonna, otteniamo una sottomatrice quadrata solamente se la matrice di partenza è quadrata.

 

Il MINORE COMPLEMENTARE di aij lo indichiamo con Mij. Esso può essere indicato anche con Aij.

 

Esempio.

Consideriamo la matrice quadrata A:

Matrice quadrata A

 

Ora prendiamo l'elemento a12 ovvero l'elemento che occupa la prima riga e la seconda colonna. Esso è l'elemento 2:

Minore complementare

 

ed eliminiamo dalla matrice A la prima riga e la seconda colonna.

Minore complementare

 

Ora calcoliamo il minore complementare M12, ovvero il determinante della sottomatrice che abbiamo ottenuto dalla matrice A eliminando la prima riga e la seconda colonna.

Minore complementare

= [4 x 5] - [1 x (-1)] = 

= 20 - (-1) =

= 20 + 1 = 21.

 

Quindi 21 è il minore complementare di a12.

 

Vediamo un altro esempio.

Consideriamo sempre la matrice quadrata A:

Matrice quadrata A

 

Ora prendiamo l'elemento a31 ovvero l'elemento che occupa la terza riga e la prima colonna. Esso è l'elemento -1:

Minore complementare

 

ed eliminiamo dalla matrice A la terza riga e la prima colonna.

Minore complementare

 

Ora calcoliamo il minore complementare M31, ovvero il determinante della sottomatrice che abbiamo ottenuto dalla matrice A eliminando la terza riga e la prima colonna.

Minore complementare

= [2 x 1] - [0 x 7] = 

= 2 - 0 = 2.

 

Quindi 2 è il minore complementare di a31.

 

 

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