MATRICE DI ZERI
Chiamiamo MATRICE di ZERI o MATRICE NULLA una matrice i cui ELEMENTI SONO TUTTI UGUALI A ZERO.
La MATRICE di ZERI si indica con la lettera
O
oppure con la lettera maiuscola dell'alfabeto greco
che si legge
omega.
Se MOLTIPLICHIAMO una qualunque matrice A per una MATRICE di ZERI si ottiene una matrice di zeri:
A · O = O.
La stessa cosa accade se MOLTIPLICHIAMO una MATRICE di ZERI per la matrice A:
O · A = O.
Può, però, accadere che MOLTIPLICANDO tra loro DUE MATRICI NON NULLE si ottenga come risultato una MATRICE di ZERI.
Esempio.
Siano A e B due matrici non nulle:
Moltiplichiamo le due matrici:
Il prodotto ottenuto è una matrice di zeri.
Quindi, se
A · B = 0
con
non significa che B sia uguale a zero, cioè NON VALE la LEGGE DI ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO.
Ovvero:
che si legge
se A per B è uguale a zero e A è diverso da zero ciò non implica che B sia uguale a zero.
Dato che il PRODOTTO tra due MATRICI non gode della PROPRIETA' COMMUTATIVA, non è detto che anche il prodotto di B per A dia come risultato una matrice nulla.
Ora consideriamo tre matrici non nulle A, B e C tali che:
A · B = A · C.
Poiché
A = A
verrebbe spontaneo pensare che
B = C.
Invece non è detto che sia così. Infatti se scriviamo
A · B = A · C
e portiamo a primo membro il prodotto di A per C cambiandogli di segno, avremo:
A · B - A · C = 0.
Se a primo membro mettiamo in evidenza la A, avremo:
A · (B - C) = 0.
Noi abbiamo visto che il prodotto di due matrici non nulle può dar luogo ad una matrice di zeri, quindi non è detto che B - C sia uguale a zero e di conseguenza non è detto che B sia uguale a C.
Infine ricordiamo che la MATRICE NULLA è l'ELEMENTO NEUTRO rispetto alla somma. Ovvero, data la matrice A non nulla, avremo:
A + O = A.
