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Abbiamo visto nelle lezioni precedenti
cosa si intende per SOTTOINSIEMI di un
INSIEME e quali sono i SOTTOINSIEMI
PROPRI e quelli IMPROPRI.
Inoltre abbiamo detto che per indicare
che un insieme A
è
un SOTTOINSIEME
di B usiamo il SIMBOLO DI INCLUSIONE
così:
che si legge
A è incluso in B.
Ora vediamo quali sono le PROPRIETA'
DELL'INCLUSIONE:
-
PROPRIETA'
RIFLESSIVA.
Abbiamo già
detto, nella lezione precedente, che ogni
insieme ammette sempre come sottoinsieme se stesso. Quindi
possiamo affermare che
ogni insieme è incluso in se
stesso.
- PROPRIETA' TRANSITIVA.
Se A è
sottoinsieme di B
e B
è sottoinsieme di C,
avremo che A
è anche sottoinsieme di C.
Il che si scrive così:
che si legge
se A è incluso in B e B è incluso
in C allora A è
incluso in C.
Se A è
un sottoinsieme di B ciò
significa che ogni elemento di A è
anche elemento di B.
Se B è un sottoinsieme di C
ciò significa che ogni elemento di B (che
comprende anche tutti gli elementi di
A) è anche elemento di C.
Di conseguenza ogni elemento di A
è anche elemento di C
e dunque A
è anche sottoinsieme di C.
Graficamente
avremo:
-
PROPRIETA'
ANTISIMMETRICA DELL'INCLUSIONE.
Se A è
sottoinsieme di B
e B
è sottoinsieme di A,
ogni elemento di A
è anche elemento di B e
ogni elemento di B
è anche elemento di A.
Il che si scrive così:
che si legge
se A è incluso in B e B è
incluso in A allora
A è uguale a B.
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