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EQUAZIONI BIQUADRATICHE

 

Per comprendere  

 

Consideriamo la seguente equazione:

ax2n + bxn + c = 0.

 

Se

n = 1

l'equazione diventa

ax2 + bx + c = 0.

Essa è una normale EQUAZIONE DI SECONDO GRADO COMPLETA che risolviamo applicando la formula risolutiva.

 

Vediamo, però, cosa accade se 

n > 1.

 

La nostra equazione

ax2n + bxn + c = 0

 

può essere scritta anche nel modo seguente:

a(xn )2+ bxn + c = 0.

 

Infatti sappiamo che la potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti.

 

Ora poniamo

xn = t.

 

L'equazione

a(xn )2+ bxn + c = 0

diventa

at2+ bt + c = 0.

 

Questa è un'EQUAZIONE DI SECONDO GRADO COMPLETA che risolviamo nei modi consueti.

 

La nostra equazione potrà:

  • ammettere DUE SOLUZIONI distinte. In questo caso troveremo due valori di t: t1 e t2

Una volta trovati i valori di t determiniamo il valore di x ricordando che

xn = t1     e    xn = t2.

 

Esempio:

Equazioni biquadratiche

Una volta trovati i valori di t cerchiamo quelli di x:

Equazioni biquadratiche

 

  • ammette UNA SOLA SOLUZIONE. In questo caso troveremo un solo valore di t

Per determinare il valore di x basta ricordare che

xn = t;

 

Esempio:

Equazioni biquadratiche

Una volta trovato il valore di t cerchiamo i valori di x:

Equazioni biquadratiche

 

  • non ammette NESSUNA SOLA SOLUZIONE. In questo caso non troveremo alcun valore di t e di conseguenza non troveremo nessun valore di x

 

Esempio:

Equazioni biquadratiche

La nostra equazione non ammette soluzioni.

 

 

E' possibile anche che l'equazione

 

at2 + bt + c = 0

ammetta soluzioni, mentre l'equazione

ax2n + bxn + c = 0

non ammetta soluzioni.

 

Esempio:

Equazioni biquadratiche

Una volta trovato il valore di t cerchiamo i valori di x:

Equazioni biquadratiche

E' evidente che l'equazione non ammette soluzioni non potendosi, in nessuno dei due casi, estrarre la radice quadrata di un numero negativo.

 

 

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