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EQUAZIONI RAZIONALI FRATTE di secondo grado LETTERALI

 

Per comprendere  

 

Nelle lezioni precedenti abbiamo visto come si risolvono le equazioni di secondo grado intere numeriche, intere letterali e quelle fratte numeriche.

Ora vedremo come possiamo risolvere le EQUAZIONI di secondo grado RAZIONALI FRATTE LETTERALI.

In pratica si tratta di equazioni di secondo grado nelle quali la x non si presenta sotto il segno di radice, si trova a denominatore di una frazione e dove sono presenti delle lettere che rappresentano delle costanti.

 

Per risolvere questo tipo di equazione bisogna tenere presente quanto abbiamo detto sia in merito alle equazioni frazionarie, che a quelle letterali.

In altre parole occorre LIBERARE l'equazione dai DENOMINATORI ponendo come condizione che l'ESPRESSIONE per la quale moltiplichiamo entrambi i membri dell'equazione sia diversa da zero.

Inoltre occorre studiare i VALORI CHE ASSUME l'equazione al variare della costante.

 

Esempio:

Equazione di secondo grado frazionaria letterale

Nel nostro esempio la x è l'incognita e la a è una costante.

 

LIBERIAMO l'equazione DAL DENOMINATORE moltiplicando entrambi i membri per 

ax - 1.

Il DENOMINATORE assume valore zero quando 

ax - 1 = 0

ax = +1

x = 1/a.

 

Quindi le soluzioni che troveremo saranno accettabili se

x 1/a.

 

 

Ora moltiplichiamo entrambi i membri dell'equazione per 

ax - 1.

 

Equazione di secondo grado frazionaria letterale

Ci troviamo di fronte ad un'equazione spuria. Risolviamo mettendo in evidenza la x:

x (ax -2) = 0

ovvero

x = 0

oppure

ax - 2 = 0

ax = 2

x = 2/a.

 

Entrambe le soluzioni sono accettabili essendo 

x 1/a.

 

Ora esaminiamo cosa accade se 

a = 0.

 

In questo caso avremo:

ax = 2

0x = 2.

 

Quindi, In questo caso l'equazione è IMPOSSIBILE perché non esiste nessun numero che, moltiplicato per 0, dia 2.

 

Vediamo un altro esempio:

 

Equazione di secondo grado frazionaria letterale

 

Eseguiamo la somma indicata a primo membro:

 

Equazione di secondo grado frazionaria letterale

 

Liberiamo l'equazione dai denominatori moltiplicando, primo e secondo membro, per il m.c.d., ovvero per

2x (a+x). 

 

Ovviamente dovremo porre come condizione che

2x (a+x) ≠ 0.

Il che è vero quando

x 0

e quando

a+x ≠ 0

ovvero

x -a.

Ora eseguiamo la moltiplicazione:

Equazione di secondo grado frazionaria letterale

 

 

2x2 +2a2 + 2x2+ 4ax = 5x (a+x)

2x2 +2a2 + 2x2+ 4ax = 5ax + 5x2

2x2 +2a2 + 2x2+ 4ax - 5ax - 5x2 = 0

-x2 - ax +2a2 = 0.

 

Equazione di secondo grado frazionaria letterale

 

Entrambe le soluzioni sono accettabili essendo 

x 0

e

x -a.

 

Esaminiamo, ora il DISCRIMINANTE dell'equazione. Esso è

9a2.

Trattandosi di un quadrato esso è sempre maggiore di zero, qualunque valore assume a, e la nostra equazione ammette sempre due soluzioni distinte.

 

 

 

 

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Indice argomenti su equazioni di secondo grado ad una incognita

 

Per comprendere

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