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Nelle lezioni precedenti abbiamo visto come si
risolvono le equazioni di secondo grado
intere numeriche, intere letterali e
quelle fratte numeriche.
Ora vedremo come possiamo risolvere le EQUAZIONI
di secondo grado RAZIONALI FRATTE LETTERALI.
In pratica si tratta di equazioni di secondo grado
nelle quali la x non
si presenta sotto il segno di radice,
si trova a denominatore di una
frazione e dove sono presenti delle lettere
che rappresentano delle costanti.
Per risolvere questo tipo di equazione bisogna tenere
presente quanto abbiamo detto sia in merito alle equazioni
frazionarie, che a quelle letterali.
In altre parole occorre LIBERARE
l'equazione dai DENOMINATORI ponendo
come condizione che l'ESPRESSIONE per
la quale moltiplichiamo entrambi i membri dell'equazione sia diversa da
zero.
Inoltre occorre studiare i VALORI
CHE ASSUME l'equazione al variare della
costante.
Esempio:
Nel nostro esempio la x
è l'incognita e la a è
una costante.
LIBERIAMO l'equazione DAL
DENOMINATORE moltiplicando entrambi i membri per
ax -
1.
Il DENOMINATORE
assume valore zero
quando
ax -
1 = 0
ax =
+1
x =
1/a.
Quindi le
soluzioni che troveremo saranno accettabili se
x ≠
1/a.
Ora moltiplichiamo
entrambi i membri dell'equazione per
ax -
1.
Ci troviamo di fronte ad un'equazione
spuria. Risolviamo mettendo in evidenza la x:
x (ax
-2) = 0
ovvero
x =
0
oppure
ax -
2 = 0
ax
= 2
x =
2/a.
Entrambe le
soluzioni sono accettabili essendo
x ≠
1/a.
Ora esaminiamo
cosa accade se
a =
0.
In questo caso
avremo:
ax =
2
0x
= 2.
Quindi, In questo caso
l'equazione è IMPOSSIBILE
perché non esiste nessun numero che, moltiplicato per 0,
dia 2.
Vediamo un altro esempio:
Eseguiamo la somma indicata a primo
membro:
Liberiamo l'equazione dai denominatori
moltiplicando, primo e secondo membro, per il m.c.d., ovvero per
2x (a+x).
Ovviamente dovremo
porre come condizione che
2x (a+x)
≠ 0.
Il che è vero
quando
x ≠
0
e quando
a+x
≠
0
ovvero
x ≠
-a.
Ora eseguiamo la
moltiplicazione:
2x2
+2a2 + 2x2+ 4ax = 5x (a+x)
2x2
+2a2 + 2x2+ 4ax = 5ax + 5x2
2x2
+2a2 + 2x2+ 4ax - 5ax - 5x2 = 0
-x2
- ax +2a2 = 0.
Entrambe le
soluzioni sono accettabili essendo
x ≠
0
e
x ≠
-a.
Esaminiamo, ora il
DISCRIMINANTE dell'equazione. Esso
è
9a2.
Trattandosi di un quadrato esso è
sempre maggiore di zero, qualunque valore assume a,
e la nostra equazione ammette sempre due soluzioni
distinte.
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Indice
argomenti su equazioni di secondo grado ad una incognita
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