EQUAZIONI PURE
- Equazioni di secondo grado ad una incognita
- Equazioni di secondo grado complete
- Equazioni di secondo grado incomplete
- Segno delle frazioni
- Radice quadrata
- Elevamento a potenza
- I numeri relativi
- Moltiplicazione
Abbiamo visto in una precedente lezione che un'EQUAZIONE di SECONDO GRADO del tipo:
ax2 + c = 0
si dice PURA.
Vediamo, ora, come si risolve un'equazione di questo tipo.
Data la nostra equazione
ax2 + c = 0
portiamo c a secondo membro cambiando di segno. Avremo:
ax2 = -c.
Dividiamo entrambi i membri dell'equazione per a e abbiamo:
x2 = -c/a.
Poiché noi dobbiamo trovare il valore di x, ma abbiamo il valore di x2, dobbiamo estrarre la radice quadrata dal primo e dal secondo membro. Ovvero:
Da cui abbiamo:
Esaminiamo ora il valore posto sotto radice, ovvero -c/a:
Innanzitutto facciamo una precisazione:
-c/a non indica necessariamente un valore negativo. Ad esempio:
Quindi
Ipotizziamo che -c/a sia un NUMERO NEGATIVO, ovvero:
-c/a < 0.
Noi sappiamo che la radice è l'operazione inversa all'elevamento a potenza.
Inoltre sappiamo che la potenza di un numero relativo kn si determina nel modo seguente:
- il suo valore assoluto si ottiene moltiplicando il valore assoluto per se stesso per n volte.
- il suo segno sarà positivo se l'esponente è pari, mentre risulterà invariato rispetto al segno della base se l'esponente è dispari.
La radice quadrata, in particolare, è l'operazione inversa rispetto all'elevamento al quadrato.
Quindi, se abbiamo un numero relativo
k
e lo eleviamo alla seconda, ovvero:
k2
otterremo sempre un numero positivo essendo l'esponente pari.
Quindi, dato un numero dispari, non possiamo trovare la sua radice quadrata. Pertanto se
-c/a < 0
la nostra equazione NON HA SOLUZIONI.
Viceversa, se
-c/a > 0
la nostra equazione ammette DUE SOLUZIONI. Cioè:
Cerchiamo di capirne il perché.
Prendiamo un numero qualunque positivo, ad esempio, +2 e calcoliamone il quadrato. Avremo:
+22 = +4.
Ora prendiamo lo stesso numero, ma con segno negativo, ovvero, -2 e calcoliamone il quadrato. Avremo:
-22 = +4.
Se ora cerchiamo la radice quadrata di 4 possiamo dire che essa è sia +2 che -2. Cioè:
che si può scrivere anche:
In maniera analoga, quando cerchiamo la radice quadrata di -c/a dovremo prendere come soluzioni:
Infine, se
c = 0
avremo:
ax2 + 0 = 0
cioè:
ax2 = 0
che può essere scritta come:
a·x·x = 0.
Posto che a è diverso da zero, cioè posto:
a ≠ 0
per la legge di annullamento del prodotto l'equazione è uguale a zero quando x è uguale a zero.
In questo caso lo zero si dice RADICE DOPPIA dato che la soluzione zero viene contata due volte:
Ricapitolando:
- -c/a < 0 IMPOSSIBILE
-
-c/a > 0
- -c/a = 0 x1 = 0 x2 =0
Vediamo un esempio.
4x2 -1 = 0
4x2 = 1
x2 = 1/4
