SOTTOINSIEMI DI UN INSIEME
Indichiamo con
A l'insieme degli italiani
e con
B l'insieme degli abruzzesi.
E' evidente che ogni abruzzese è anche un italiano. In questo caso si dice che
B è un SOTTOINSIEME di A
oppure che
B è INCLUSO in A.
Più in generale possiamo affermare che B è un SOTTOINSIEME di un INSIEME A se OGNI ELEMENTO di B è ANCHE ELEMENTO di A.
Per dire che
B è un SOTTOINSIEME di A
scriveremo
che si legge
B è incluso in A
oppure
B è contenuto in A
o ancora
B è sottoinsieme di A.
Il SIMBOLO
è detto
SIMBOLO DI INCLUSIONE.
Avremmo potuto scrivere anche:
che si legge
A include B
e ha lo stesso significato di
Graficamente avremmo potuto rappresentare il fatto che B è un SOTTOINSIEME di A mediante il DIAGRAMMA DI VENN, nel modo seguente:
Gli elementi dell'insieme B li abbiamo indicati all'interno di una linea curva chiusa. Per rendere più chiaro il grafico abbiamo tracciato questa linea di verde.
L'insieme B è situato all'interno dell'insieme A che abbiamo indicato con una linea curva chiusa di colore blu ad indicare che tutti gli elementi di B sono anche elementi di A, mentre vi sono elementi di A che non sono elementi di B.
Possiamo allora dire che:
che si legge
x appartiene a B e B è incluso in A implica che x appartiene ad A.
Cioè, se x è un elemento di B e al tempo stesso B è un sottoinsieme di A sicuramente x è anche un elemento di A.
Vediamo qualche altro esempio di sottoinsieme:
l'insieme delle MARGHERITE è un SOTTOINSIEME dell'insieme dei FIORI;
l'insieme dei BOVINI è un SOTTOINSIEME dell'insieme dei MAMMIFERI;
l'insieme dei NUMERI PRIMI DIVISIBILI PER 2 è un SOTTOINSIEME dell'insieme dei NUMERI PRIMI.
Immaginiamo ora di avere i seguenti insiemi
A = {1, 5, 8, 15}
B = {1, 2, 5, 7}.
L'insieme B NON è un SOTTOINSIEME dell'INSIEME A dato che non tutti gli elementi di B appartengono anche ad A (2 e 7 sono elementi di B ma non di A).
Allora scriveremo:
che si legge
B non è incluso in A
oppure
B non è contenuto in A
o ancora
B non è sottoinsieme di A.
Oppure avremmo potuto scrivere
che si legge
A non include B.
Nella prossima lezione vedremo come i sottoinsiemi si possono distinguere in SOTTOINSIEMI PROPRI e SOTTOINSIEMI IMPROPRI.
