EQUAZIONI CON VALORE ASSOLUTO ED INCOGNITA ANCHE FUORI DAL MODULO

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Passiamo ad esaminare quelle EQUAZIONI CON VALORE ASSOLUTO nelle quali abbiamo:

  • in un membro il MODULO con l'INCOGNITA;

  • nell'altro membro l'INCOGNITA FUORI DAL MODULO.

LA LEZIONE PROSEGUE SOTTO LA PUBBLICITA'

La nostra equazione avrà la forma:

|A(x)| = B(x).



Ora torniamo per un attimo alla DEFINIZIONE DI VALORE ASSOLUTO. Essa è:

Definizione di valore assoluto



Quindi possiamo dire che quando

A(x) ≥ 0

la nostra equazione sarà

A(x) = B(x).



Il che significa risolvere il sistema:

Risoluzione di equazioni con valore assoluto



Quando, invece

A(x) < 0

la nostra equazione sarà

- A(x) = B(x).



Il che significa risolvere il sistema:

Risoluzione di equazioni con valore assoluto



Quindi, la soluzione della nostra equazione è data dall'unione delle soluzioni dei due sistemi, ovvero:

Risoluzione di equazioni con valore assoluto



Esempio:

|1 - 2x| = 5x - 7.



Le soluzioni dell'equazione sono date dall'unione dei due sistemi:

Risoluzione di equazioni con valore assoluto



Iniziamo a risolvere il primo sistema:

Risoluzione di equazioni con valore assoluto

La soluzione trovata

x = 8/7

non è accettabile perché non è inferiore, o uguale, ad 1/2. Quindi il sistema non ammette soluzioni: potremmo dire anche che la soluzione del sistema è l'INSIEME VUOTO che indichiamo così

S = Ø.



Passiamo al secondo sistema:

Risoluzione di equazioni con valore assoluto



La soluzione trovata

x = 2

è accettabile perché è maggiore di 1/2.



Quindi la soluzione dell'equazione è

x = 2.



Così come abbiamo detto anche nelle precedenti lezioni, questo metodo di risoluzione si applica anche a tutte quelle equazioni che si presentano in una forma diversa rispetto a quella vista in precedenza, ma ad essa riconducibile.

Esempio:

|2 - x| + x2 = 4.



Basta portare x2 a secondo membro, ricordandoci di cambiare di segno, e avremo ricondotto la nostra equazione alla forma vista in precedenza:

|2 - x| = 4 - x2.



Ora risolviamo come di consueto:

Risoluzione di equazioni con valore assoluto



Iniziamo con il primo sistema:

Risoluzione di equazioni con valore assoluto

Risolviamo la seconda equazione del sistema:

Risoluzione di equazioni con valore assoluto



Entrambi i risultati ottenuti, - 1 e 2, sono risultati del sistema, in quanto rispondono alla condizione posta dalla disequazione presente nel sistema: infatti, uno è minore di due e l'altro è uguale a due.



Passiamo al secondo sistema:

Risoluzione di equazioni con valore assoluto



Risolviamo la seconda equazione del sistema:

Risoluzione di equazioni con valore assoluto



Nessuno dei due risultati ottenuti, - 3 e 2, è accettabile come soluzione del sistema, perché nessuno dei due risponde alla condizione posta dalla disequazione presente nel sistema, ovvero che la x sia maggiore di 2. Quindi la soluzione di questo sistema è l'insieme vuoto:

S = Ø.



Le soluzioni dell'equazione di partenza sono quindi:

x = -1 ˅ x = 2 .

 
 
 
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