PRINCIPIO DI SOSTITUZIONE DI UN SISTEMA
- Sistemi di equazioni
- Principi di equivalenza dei sistemi
- Principio di riduzione di un sistema
- Principi di equivalenza delle equazioni
Nelle lezioni precedenti abbiamo visto che la risoluzione dei SISTEMI DI EQUAZIONI si fonda su due principi: il PRINCIPIO di RIDUZIONE e il PRINCIPIO di SOSTITUZIONE.
Dopo aver parlato del PRINCIPIO di RIDUZIONE vediamo ora in cosa consiste il PRINCIPIO DI SOSTITUZIONE.
Il PRINCIPIO di SOSTITUZIONE afferma che quando un'equazione è risolta rispetto ad una incognita e, andiamo a SOSTITUIRE nelle ALTRE EQUAZIONI la sua ESPRESSIONE, si ottiene un sistema equivalente a quello dato.
Partiamo allora dal sistema:
Vediamo che la prima equazione è stata risolta rispetto alla x.
Infatti
x = A
dove A rappresenta un'espressione algebrica che contiene le altre incognite del sistema, ma non la x.
Se ora sostituiamo nelle espressioni B e C il valore della x ottenuta dalla prima espressione, avremo due nuove espressioni che chiameremo B' (si legge B primo) e C' (si legge C primo). Il nostro sistema diventerà:
Ora vogliamo dimostrare che questo sistema è equivalente a quello di partenza.
Possiamo notare che B e B' differiscono solamente per il fatto che, in B' al posto della lettera x abbiamo messo l'espressione A.
Lo stesso discorso possiamo fare per C e C' che differiscono solamente per il fatto che, in C' al posto della lettera x abbiamo messo l'espressione A.
Di conseguenza, quando si annullano B e C, si annullano anche B' e C' e viceversa.
Quindi ogni soluzione del primo sistema è anche soluzione del secondo sistema: pertanto possiamo dire che i due SISTEMI sono EQUIVALENTI.
Quando nelle equazioni B = 0 e C = 0 sostituiamo alla incognita x l'espressione A, la x non compare più nelle equazioni e si dice che essa è stata ELIMINATA.
Ovviamente la dimostrazione che abbiamo appena fatto è valida a prescindere dal numero delle equazioni che compongono il sistema.
