FUOCO E DIRETTRICE DELLA PARABOLA

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Noi sappiamo che la PARABOLA è il luogo geometrico dei PUNTI del piano EQUIDISTANTI da un PUNTO FISSO detto FUOCO e da una RETTA FISSA della DIRETTRICE.

Ora, se indichiamo con F il fuoco, di coordinate

F (p ; q)



con d la direttrice di equazione

y = d



e con P un generico punto della parabola di coordinate

P (x ; y)



Parabola

possiamo scrivere che

Parabola

da cui si ricava l'equazione della parabola

y = ax2 + bx + c.



Per giungere a tale equazione è necessario porre:

Coordinate del fuoco della parabola

Coordinate del fuoco della parabola

Coordinate del fuoco della parabola



Ora, se noi vogliamo sapere quali sono le coordinate del fuoco, possiamo risolvere un sistema con queste tre equazioni. Avremo:

Coordinate del fuoco della parabola



Partiamo dalla seconda equazione. Possiamo scriverla come:

Coordinate del fuoco della parabola

Ma poiché:

Coordinate del fuoco della parabola

Possiamo scrivere:

b = -2pa.



Allo stesso modo

Coordinate del fuoco della parabola

può essere scritta come:

Coordinate del fuoco della parabola

da cui otteniamo

c = (q2 -d2 + p2) a.



Il nostro sistema, quindi, diventa:

Coordinate del fuoco della parabola

Dalla prima equazione troviamo il valore di q. Moltiplichiamo il denominatore:

Coordinate del fuoco della parabola



Moltiplichiamo, primo e secondo membro, per 2q - 2d, e avremo:

(2q - 2d)a = 1

2qa - 2da = 1.



Portiamo a secondo membro -2da cambiandogli di segno:

2qa = 1 + 2da.



Dividiamo entrambi i membri per 2a:

q = 1/2a + d.



Invece, dalla seconda equazione, ricaviamo lap:

b = -2pa

2pa = - b.



Dividiamo entrambi i membri per 2a:

p = - b/2a.



Nella terza equazione, sostituiamo i valori di q e di p:

Coordinate del fuoco della parabola

.



A questo punto il nostro sistema diventa:

Coordinate del fuoco della parabola

Ora, dalla terza equazione, troviamo la d:

Coordinate del fuoco della parabola

Il nostro sistema, quindi, diventa:

Coordinate del fuoco della parabola



Ora poniamo, nell'ultima equazione:

Δ = b2 - 4ac.

Essa diventa:

Coordinate del fuoco della parabola

Sostituendo la d, nella prima equazione, avremo:

Coordinate del fuoco della parabola



Abbiamo, quindi, trovato i valori di q, p, d.

E abbiamo dimostrato che:

Fuoco della parabola

e che

Direttrice della parabola

che, ovviamente è la stessa cosa che scrivere

y = (-1 - Δ)/4a.

 
 
Il nostro sito collabora ad una ricerca condotta dall'Università dell'Aquila e dall'Università di Pavia sulla didattica della matematica. Ti saremmo grati se volessi dedicarci alcuni minuti rispondendo ad un breve questionario.

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