CALCOLO DEL m.c.m. CON LA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI
- Minimo comune multiplo
- Calcolo del minimo comune multiplo
- Calcolo del m.c.m. con il metodo delle divisioni successive
- Criterio generale di divisibilità
Come sappiamo il MINIMO COMUNE MULTIPLO di due o più numeri, che abbreviamo con la sigla m.c.m., è il MINORE dei loro MULTIPLI COMUNI.
Uno dei metodi più impiegati per calcolare il m.c.m. di due o più numeri si basa sulla loro SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI.
Essa afferma che il m.c.m. di due o più numeri si ottiene SCOMPONENDO i numeri dati in FATTORI PRIMI e moltiplicando i FATTORI PRIMI COMUNI e NON COMUNI, ciascuno preso una sola volta, col MASSIMO ESPONENTE. (vedi lezione 06).
Cerchiamo di capirne il perché attraverso un esempio: vogliamo calcolare il m.c.m. tra i numeri 12 e 30.
m.c.m. (12, 30).
Ora
noi stiamo cercando un numero che sia al tempo stesso multiplo di 12 e di
30 e che tra tutti i multipli comuni sia il più piccolo.
Per essere tale numero multiplo di 12 deve essere divisibile per 12 e per essere multiplo di 30 deve essere divisibile per 30: quindi stiamo cercando un numero che sia divisibile al tempo stesso per 12 e per 30 e che tra i divisori comuni sia il più piccolo.
Secondo quando afferma il CRITERIO GENERALE DI DIVISIBILITA' un numero è DIVISIBILE per un altro quando, SCOMPONENDO entrambiin FATTORI PRIMI, il PRIMO numero CONTIENE TUTTI I FATTORI PRIMI presenti nel secondo con ESPONENTI MAGGIORI o UGUALI.
Scomponiamo ora in fattori primi, 12 e 30.
12 = 22 x 3
30 = 2 x 3 x 5
Il nostro numero, quindi:
- per essere divisore di 12,
dovrà contenere:
- il fattore primo 2 con esponente 2 o con esponente superiore;
- il fattore primo 3 con esponente 1 o con esponente superiore;
- per essere divisore di 30,
dovrà contenere:
- il fattore primo 2 con esponente 1 o con esponente superiore;
- il fattore primo 3 con esponente 1 o con esponente superiore;
- il fattore primo 5 con esponente 1 o con esponente superiore.
Quindi, per essere contemporaneamente multiplo di tutti e due, cioè divisibile per entrambi, dovrà contenere i fattori primi presenti in ambedue i numeri, ciascuno con un esponente pari al maggiore degli esponenti con cui è presente nei due numeri o eventualmente superiore.
Facciamo un esempio. I fattori primi presenti in 12 e 30 sono 2, 3 e 5. Prendiamoli tutti con esponente 1.
Avremmo esattamente il numero 30 che è divisibile per 30, ma non per 12: quindi non è un multiplo di 12.
Per avere un numero che sia anche multiplo di 12, il fattore 2 deve essere preso con esponente 2 o maggiore.
Quindi, il numero da noi cercato dovrà contenere
- il fattore primo 2 con esponente 2 o superiore;
- il fattore primo 3 e il fattore primo 5, entrambi con esponente primo 1 o superiore.
Noi, però, cerchiamo il MINIMO COMUNE MULTIPLO, cioè il più piccolo tra i multipli comuni.
Quindi il nostro numero dovrà contenere tutti i fattori primi presenti nei due numeri dati: quindi 2, 3 e 5 rispettivamente con esponenti 2, 1 e 1, cioè gli esponenti minori tra quelli ammissibili. Infatti prendendo questi fattori con esponenti maggiori avremmo un multiplo di entrambi i numeri dati, ma non il minore di essi.
Quindi:
m.c.m. (12, 30) = 22 x 3 x 5 = 60.
Da qui la regola generale secondo la quale il m.c.m. di due o più numeri si ottiene SCOMPONENDO i numeri dati in FATTORI PRIMI e moltiplicando i FATTORI PRIMI COMUNI e NON COMUNI, ciascuno preso una sola volta, col MASSIMO ESPONENTE. .
