ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO

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Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:

Esercizio 1

Risolvere la seguente disequazione:

x + 2 > 0.

Svolgimento

Non dobbiamo liberare la disequazione dai denominatori perché non sono presenti frazioni.
Non ci sono operazioni da eseguire.

Lasciamo a primo membro l’incognita e portiamo a secondo membro il termine noto +2, cambiandogli di segno. Avremo:

x > -2

Non ci sono termini simili da ridurre.

Poiché il coefficiente della x è 1 non c’è bisogno di dividere entrambi i termini della disequazione per il coefficiente dell’incognita.

La nostra disequazione, quindi, è risolta.

Vediamo, ora, come possiamo rappresentare il risultato ottenuto. Esistono vari metodi:

Il primo è il seguente:
x > -2

che si legge
x maggiore di meno 2.
Il secondo metodo consiste nel ricorrere ai simboli usati negli insiemi. In questo caso, il nostro risultato può essere scritto come segue:
{x ∈ R : x > -2}

che si legge l’insieme delle x appartenenti ad R tali che x è maggiore di meno 2.

R è l'insieme dei numeri reali

Avremmo potuto scrivere il nostro risultato anche in uno dei modi seguenti:

{x ∈ R \ x > -2}
oppure
{x ∈ R | x > -2}

entrambi si leggono come sopra
l’insieme delle x appartenenti ad R tali che x è maggiore di meno 2.
E’ anche possibile indicare il risultato con i simboli usati negli intervalli, ovvero:
[ …] Per indicare un intervallo chiuso
]…[ oppure (…) Per indicare un intervallo aperto

Nel nostro caso avremmo potuto scrivere il risultato in uno dei seguenti modi:

] –2; +∞ [
(–2; +∞)
entrambi si leggono
intervallo aperto meno 2, più infinito.

L'ESERCIZIO PROSEGUE SOTTO LA PUBBLICITA'

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L’ultimo modo possibile di indicare il risultato della nostra disequazione è quello di rappresentarlo graficamente. In questo caso disegniamo una retta orientata, ovvero una retta nella quale indichiamo con una freccia il verso di percorrenza:

Riportiamo sulla retta l’origine 0:

Quindi indichiamo ai due estremi della retta i simboli meno infinito e più infinito. Tali simboli non indicano dei punti particolari della retta, ma solamente che la retta è illimitata tanto a sinistra che a destra. A volte l’indicazione di questi due simboli viene omessa.

Ora riportiamo sulla retta la soluzione trovata. Per fare ciò usiamo una serie di convenzioni, ovvero:
- indichiamo con una linea continua i valori che soddisfano la disequazione;
- indichiamo con una linea tratteggiata i valori che non soddisfano la disequazione;
- indichiamo con un cerchietto pieno che il valore è compreso nelle soluzioni della disequazione;
- indichiamo con un cerchietto vuoto che il valore non è compreso nelle soluzioni della disequazione.
Torniamo al nostro esercizio. La soluzione andrebbe rappresentata graficamente nel modo seguente:

La linea continua va da -2 a +∞ e indica i valori che soddisfano la disequazione.

La linea discontinua va da -∞ a -2 e indica i valori che non soddisfano la disequazione.

Sul valore –2 abbiamo messo un cerchietto vuoto perché questo valore non soddisfa la disequazione.

Se il risultato della disequazione fosse stato,
x ≥ - 2

anziché

x > - 2

allora, in corrispondenza di –2, avremmo dovuto indicare un cerchietto pieno essendo –2 compreso tra le soluzioni della disequazione.

Altri esercizi su questo argomento:

Indice degli argomenti sulle disequazioni di primo grado

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