ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Esercizio 1

Risolvere la seguente disequazione:



x + 2 > 0.



Svolgimento

  • Non dobbiamo liberare la disequazione dai denominatori perché non sono presenti frazioni.
  • Non ci sono operazioni da eseguire.

Lasciamo a primo membro l’incognita e portiamo a secondo membro il termine noto +2, cambiandogli di segno. Avremo:

x > -2

Non ci sono termini simili da ridurre.

Poiché il coefficiente della x è 1 non c’è bisogno di dividere entrambi i termini della disequazione per il coefficiente dell’incognita.

La nostra disequazione, quindi, è risolta.

Vediamo, ora, come possiamo rappresentare il risultato ottenuto. Esistono vari metodi:

  • Il primo è il seguente:

    x > -2

    che si legge
    x maggiore di meno 2.


  • Il secondo metodo consiste nel ricorrere ai simboli usati negli insiemi. In questo caso, il nostro risultato può essere scritto come segue:

    {x ∈ R : x > -2}

    che si legge l’insieme delle x appartenenti ad R tali che x è maggiore di meno 2.

    R è l'insieme dei numeri reali


    Avremmo potuto scrivere il nostro risultato anche in uno dei modi seguenti:

    {x ∈ R \ x > -2}
    oppure
    {x ∈ R | x > -2}

    entrambi si leggono come sopra
    l’insieme delle x appartenenti ad R tali che x è maggiore di meno 2.


  • E’ anche possibile indicare il risultato con i simboli usati negli intervalli, ovvero:

    [ …]   Per indicare un intervallo chiuso
    ]…[   oppure   (…)   Per indicare un intervallo aperto

    Nel nostro caso avremmo potuto scrivere il risultato in uno dei seguenti modi:

    ] –2; +∞ [
    (–2; +∞)
    entrambi si leggono
    intervallo aperto meno 2, più infinito.


  • L’ultimo modo possibile di indicare il risultato della nostra disequazione è quello di rappresentarlo graficamente. In questo caso disegniamo una retta orientata, ovvero una retta nella quale indichiamo con una freccia il verso di percorrenza:


    Disequazioni di primo grado intere

    Riportiamo sulla retta l’origine 0:


    Disequazioni di primo grado intere

    Quindi indichiamo ai due estremi della retta i simboli meno infinito e più infinito. Tali simboli non indicano dei punti particolari della retta, ma solamente che la retta è illimitata tanto a sinistra che a destra. A volte l’indicazione di questi due simboli viene omessa.


    Disequazioni di primo grado intere

    Ora riportiamo sulla retta la soluzione trovata. Per fare ciò usiamo una serie di convenzioni, ovvero:

    • indichiamo con una linea continua i valori che soddisfano la disequazione;
    • indichiamo con una linea tratteggiata i valori che non soddisfano la disequazione;
    • indichiamo con un cerchietto pieno che il valore è compreso nelle soluzioni della disequazione;
    • indichiamo con un cerchietto vuoto che il valore non è compreso nelle soluzioni della disequazione.

    Torniamo al nostro esercizio. La soluzione andrebbe rappresentata graficamente nel modo seguente:


    Disequazioni di primo grado intere

    La linea continua va da -2 a +∞ e indica i valori che soddisfano la disequazione.

    La linea discontinua va da -∞ a -2 e indica i valori che non soddisfano la disequazione.

    Sul valore –2 abbiamo messo un cerchietto vuoto perché questo valore non soddisfa la disequazione.

    Se il risultato della disequazione fosse stato,

    x ≥ - 2

    anziché

    x > - 2

    allora, in corrispondenza di –2, avremmo dovuto indicare un cerchietto pieno essendo –2 compreso tra le soluzioni della disequazione.


 
Altri esercizi su questo argomento:
 
Il nostro sito collabora ad una ricerca condotta dall'Università dell'Aquila e dall'Università di Pavia sulla didattica della matematica. Ti saremmo grati se volessi dedicarci alcuni minuti rispondendo ad un breve questionario.

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