MATRICI INVERSE
Data una matrice quadrata A chiamiamo MATRICE INVERSA di A, la MATRICE B, tale che:
A · B = B · A = I.
In altre parole, la MATRICE INVERSA di A è la matrice B tale che, se moltiplichiamo la matrice A per B o moltiplichiamo la matrice B per A otteniamo la MATRICE IDENTITA', cioè una matrice quadrata i cui ELEMENTI della DIAGONALE PRINCIPALE sono tutti uguali ad UNO, mentre i restanti elementi sono tutti uguali a ZERO.
Facciamo due precisazioni:
- la matrice A è una MATRICE QUADRATA;
- NON è detto che ESISTA SEMPRE la MATRICE INVERSA di A. Su questo argomento, ovvero sull'esistenza della matrice inversa di una matrice quadrata, avremo modo di tornare in seguito.
Indichiamo la MATRICE INVERSA di A con
A-1
che si legge
A alla meno 1.
Possiamo affermare che, se l'INVERSA di A esiste, essa è UNICA.
Supponiamo che esistano due matrici inverse della matrice A. Chiameremo queste due matrici B e C. Potremo scrivere, allora:
A · B = B · A = I
e anche
A · C = C · A = I.
Ora riprendiamo la prima eguaglianza
A · B = B · A= I.
Da essa ricaviamo:
A · B = B · A = I
A · B = I.
Ora premoltiplichiamo entrambi i membri per C. Avremo:
C · A · B = C · I.
Noi sappiamo che
C · A = I.
Quindi possiamo sostituire al prodotto di C per A la matrice I:
C · A · B = C · I
I · B = C · I.
Poiché
I = I
avremo che
B = C.
Abbiamo quindi dimostrato che, la MATRICE INVERSA di A, se esiste, è UNICA.
Nella prossima lezione vedremo quelle che sono le proprietà delle inverse.
