SEGNO DEL TRINOMIO DI SECONDO GRADO

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Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:

• Equazioni di secondo grado ad una incognita
• Risoluzione delle equazioni di secondo grado complete
• Discriminante di un'equazione di secondo grado

Un TRINOMIO di SECONDO GRADO è un'espressione che assume valori diversi a seconda dei valori attribuiti alla variabile che compare in essa.

Esempio:

3x² -10x +3.

Cerchiamo le radici del trinomio e avremo:

Se noi attribuiamo alla x il valore di 1/3 o di 3, il trinomio è UGUALE A ZERO. Infatti:

P(1/3) = 3 (1/3)² -10 (1/3) +3 =

= 3 (1/9) - 10/3 + 3 =

= 1/3 - 10/3 + 3 =

= (1 - 10 +9) /3 = 0/3 = 0.

P(3) = 3 (3)² -10 (3) +3 =

= 3 (9) - 30 + 3 =

= 27 - 30 + 3 = 0.

Vediamo quali valori assume il trinomio se alla x attribuiamo un valore maggiore di 3. Ad esempio 5:

P(5) = 3 (5)² -10 (5) +3 =

= 3 (25) - 50 + 3 =

= 75 - 50 + 3 = 28.

Quindi per valori maggiori di 3 il trinomio assume valori positivi.

Anche se attribuiamo alla x valori inferiori a 1/3 il trinomio assume valori positivi. Proviamo, ad esempio a sostituire alla x il valore zero:

P(0) = 3 (0)² -10 (0) +3 =

= 0 - 0 + 3 = 3.

Se, invece, alla x diamo un valore compreso tra 1/3 e 3, il trinomio assume valori negativi. Proviamo, ad esempio a sostituire alla x il valore 1:

P(1) = 3 (1)² -10 (1) +3 =

= 3 - 30 + 3 = -24.

Abbiamo fatto questi esempi per dimostrare come, al VARIARE della VARIABILE, CAMBIA il SEGNO del TRINOMIO.

Prima di addentrarci nell'argomento precisiamo che si dice che il VALORE DELLA VARIABILE è ESTERNO ALL'INTERVALLO DELLE RADICI, quando esso è MINORE della RADICE MINORE o MAGGIORE della RADICE MAGGIORE.

Esempio:

siano x₁ e x₂ le RADICI del trinomio con

x₁ < x₂

mentre chiamiamo con x il valore considerato della variabile.

Diremo che il valore considerato della variabile è ESTERNO all'intervallo delle radici se:

x < x₁

x > x₂.

Mentre si dice che il VALORE DELLA VARIABILE è INTERNO ALL'INTERVALLO DELLE RADICI, quando esso è COMPRESO tra la RADICE MINORE e la RADICE MAGGIORE.

Esempio:

siano x₁ e x₂ le RADICI del trinomio con

x₁ < x₂

mentre chiamiamo con x il valore considerato della variabile.

Diremo che il valore considerato della variabile è INTERNO all'intervallo delle radici se:

x₁ <x < x₂.

Fatte queste premesse possiamo dire che:

1. se il TRINOMIO di SECONDO GRADO ha 2 RADICI DISTINTE esso:
   • si ANNULLA quando la VARIABILE ha il VALORE di una di quelle RADICI;
   • assume VALORI di SEGNO CONTRARIO a quello del suo PRIMO COEFFICIENTE quando la variabile assume valori INTERNI all'intervallo delle RADICI;
   • assume VALORI di SEGNO UGUALE a quello del suo PRIMO COEFFICIENTE quando la variabile assume valori ESTERNI rispetto alle RADICI.

     Per ricordarsi questa regola si è soliti chiamarla REGOLA del DICE dove DICE è la sigla di

     D - DISCORDI

     I - INTERNI

     C - CONCORDI

     E - ESTERNI

     
     
     

     Esempio:

     3x² -10x +3

     le radici sono

     x₁ = 1/3

     x₂ = 3.

     
     
     

     Quindi:

     • il trinomio si annulla per

       x = 1/3 e x =3;

     • il trinomio assume valori negativi per

       1/3 <x< 3

       in quanto il primo coefficiente è positivo (3) e per la regola del DICE quando la x ha valori interni all'intervallo delle radici il segno del trinomio è opposto al segno del primo coefficiente;

     • il trinomio assume valori positivi per

       x < 1/3 e x > 3

       in quanto il primo coefficiente è positivo (3) e per la regola del DICE quando la x ha valori esterni all'intervallo delle radici il segno del trinomio è lo stesso del primo coefficiente.

2. se il TRINOMIO di SECONDO GRADO ha 1 RADICE soltanto esso:
   • si ANNULLA quando la VARIABILE ha il VALORE dell'unica RADICI;
   • assume VALORI di SEGNO UGUALE a quello del suo PRIMO COEFFICIENTE per OGNI ALTRO VALORE della variabile.

     Esempio:

     9x² +12x +4

     la radice è

     x₁ = x₂ = 2/3.

     
     
     

     Quindi:

     • il trinomio si annulla per

       x = 2/3;

     • il trinomio assume valori positivi per

       x ≠ 2/3

       in quanto il primo coefficiente è positivo (3) e il trinomio è sempre positivo per ogni valore di x diverso dalla radice.

3. se il TRINOMIO di SECONDO GRADO NON HA radici esso:
   • assume il SEGNO del suo PRIMO COEFFICIENTE per QUALUNQUE VALORE della variabile.
     
     

     Esempio:

     x² +3x +4

     il trinomio non ha radici.

     
     
     

     Quindi:

     • il trinomio assume valori positivi per qualunque valore della x in quanto il primo coefficiente è positivo (1) e il trinomio è sempre positivo per ogni valore di x.

Ricapitolando:

TRINOMIO di SECONDO GRADO      ax² + bx + c = 0

• Δ > 0      Il trinomio si annulla quando la variabile assume il valore di una delle radici.

  Negli altri casi vale la regola del DICE.

• Δ = 0      Il trinomio si annulla quando la variabile assume il valore della radice.

  Negli altri casi il trinomio ha SEGNO UGUALE a quello del PRIMO COEFFICIENTE.

• Δ < 0      Il trinomio ha SEGNO UGUALE a quello del PRIMO COEFFICIENTE per QUALUNQUE VALORE.

Nella prossima lezione ci soffermeremo ad esaminare altri esempi relativi al segno di un trinomio.

Mentre per una spiegazione delle regole qui esposte si può leggere Segno del trinomio di secondo grado.

Per approfondire questo argomento, leggi:

• Segno del trinomio di secondo grado

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Indice degli argomenti sulle equazioni di secondo grado ad una incognita

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