FATTORIZZAZIONE DI UN TRINOMIO DI SECONDO GRADO
- Equazioni di secondo grado ad una incognita
- Risoluzione delle equazioni di secondo grado complete
- Scomposizione di un polinomio mediante la regola di Ruffini
- Divisibilità del polinomio P(x) per il binomio (x-a)
- Scomposizione di un polinomio in fattori
- Discriminante di un'equazione di secondo grado
Consideriamo un'equazione di secondo grado. Ad esempio:
-2x2 + 7x -3 = 0.
Applichiamo la formula risolutiva e troviamo le sue radici:
Quindi le due radici sono +3 e +1/2.
Questo significa che, se sostituiamo i valori +3 e +1/2 alla x, la nostra equazione è uguale a zero. Infatti:
-2·(+3)2 +7·(+3) - 3 = 0
-2·(9) +7·(+3) - 3 = 0
-18 +21 -3 = 0
e
-2·(+1/2)2 +7·(+1/2) - 3 = 0
-2·(+1/4) +7·(+1/2) - 3 = 0
-1/2 +7/2 - 3 = 0
6/2 -3 =0
3 - 3 =0.
Dallo studio dei polinomi sappiamo che, se esistono dei valori che sostituiti alla variabile x, ANNULLANO il polinomio, essi prendono il nome di ZERI del POLINOMIO.
Quindi, possiamo dire che +3 e +1/2 sono ZERI della nostra equazione.
Sappiamo che la REGOLA DEL RESTO afferma che condizione necessaria e sufficiente affinché un POLINOMIO INTERO in x, P(x) sia divisibile per il binomio (x-a) è che il POLINOMIO si ANNULLI quando ad x si SOSTITUISCE a.
Nel nostro esempio il polinomio si annulla quando ad esso sostituiamo +3 e +1/2. Quindi esso è divisibile per
(x - 3)
e per
(x - 1/2).
Quindi il polinomio è divisibile anche per il loro prodotto, ovvero:
(x - 3) (x -1/2).
Ora proviamo ad eseguire questo prodotto e avremo:
(x - 3) (x -1/2) = x2 - 1/2x -3x +3/2 =
= x2 + (-1-6)/2x +3/2 =
x2 -7/2x +3/2.
Confrontiamo questo polinomio
P(x) = x2 -7/2x + 3/2
con quella di partenza:
P(x) = -2x2 + 7x - 3 .
E' evidente che dalla prima otteniamo la seconda moltiplicando per -2.
Poiché il primo polinomio non è altro che il seguente prodotto:
(x - 3) (x -1/2)
il secondo sarà dato dal prodotto:
-2 (x - 3) (x -1/2).
Possiamo provare ad eseguire il prodotto per rendercene conto.
Quindi possiamo scrivere:
P(x) = -2x2 + 7x -3 = -2 (x - 3) (x -1/2).
Abbiamo così ottenuto una scomposizione in fattori del trinomio di secondo grado. Osserviamo che il polinomio viene scritto come PRODOTTO:
- del COEFFICIENTE del TERMINE DI SECONDO GRADO del trinomio (-2);
- per la differenza tra la VARIABILE x e la PRIMA RADICE (x-3);
- per la differenza tra la VARIABILE x e la SECONDA RADICE (x-1/2);
Prendiamo ora l'equazione generale:
ax2 +bx +c = 0
Ipotizziamo
Δ = b2 - 4ac > 0.
In questo caso l'equazione ha DUE RADICI DISTINTE che chiameremo x1 e x2.
Il nostro trinomio può essere scomposto, in questo caso come:
ax2 +bx +c = a (x - x1) (x - x2).
Esempio:
6x2 -7x - 20 = 0.
Il nostro trinomio può essere scritto così:
6x2 -7x - 20 = 6 (x + 4/3) (x - 5/2).
Se, invece:
Δ = b2 - 4ac = 0.
In questo caso l'equazione ha UNA SOLA RADICE e
x1 = x2.
Il nostro trinomio può essere scomposto, in questo caso come:
ax2 +bx +c = a (x - x1) (x - x1) = a (x - x1)2.
Esempio:
x2 +2x +1 = 0.
Il nostro trinomio può essere scritto così:
x2 +2x +1 = 1 (x +1)2.
Infine, se:
Δ = b2 - 4ac < 0.
l'equazione NON ha RADICI
In questo caso il trinomio non si può fattorizzare (si veda a tale proposito Trinomio di secondo grado con discriminante negativo).
Ricapitolando:
- Discriminante Δ > 0 Fattorizzazione del trinomio a (x - x1) (x - x2)
- Discriminante Δ = 0 Fattorizzazione del trinomio a (x - x1)2
- Discriminante Δ < 0 Fattorizzazione del trinomio Il trinomio non si può fattorizzare
Per vedere gli impieghi della fattorizzazione di un trinomio di secondo grado si legga Esempio di impiego della fattorizzazione di un trinomio di scondo grado.
- Trinomio di secondo grado con discriminante negativo
- Esempio di impiego della fattorizzazione di un trinomio di secondo grado
