EQUAZIONI RECIPROCHE DI PRIMA SPECIE DI TERZO GRADO
- Equazioni reciproche
- Equazioni reciproche di prima specie di terzo grado
- Raccoglimento a fattor comune parziale
- Raccoglimento a fattor comune
- Somma o differenza di due cubi
- Divisibilità del polinomio P(x) per il binomio (x+a)
Nella lezione dedicata alle EQUAZIONI RECIPROCHE DI PRIMA SPECIE di TERZO GRADO abbiamo detto che esse ammettono sempre come radice:
x = -1.
Ora cerchiamo di comprenderne il perché.
Iniziamo col ricordare che un'EQUAZIONE si dice RECIPROCA DI PRIMA SPECIE quando i COEFFICIENTI DEI TERMINI ESTREMI e di quelli EQUIDISTANTI dagli estremi sono UGUALI.
Quindi un'EQUAZIONE RECIPROCA DI PRIMA SPECIE DI TERZO GRADO si presenta nel modo seguente:
ax3 + bx2 + bx + a = 0.
Per dimostrare che una delle radici è sempre
x = -1
iniziamo con l'effettuare un RACCOGLIMENTO A FATTORE COMUNE PARZIALE mettendo in evidenza a e bx:
a (x3 +1 ) + bx (x + 1) = 0.
Ora osserviamo che
x3 +1
è la SOMMA DI DUE CUBI. Essa è scomponibile nel modo seguente:
x3 + 13 = (x + 1) (x2 -1x +12) = (x + 1) (x2 -x +1).
Torniamo alla nostra equazione
a (x3 +1 ) + bx (x + 1) = 0
e sostituiamo
x3 + 1
con
(x + 1) (x2 -x +1).
Avremo:
a (x3 +1 ) + bx (x + 1) = 0
a (x + 1)(x2 -x +1) + bx (x + 1) = 0.
Ora mettiamo in evidenza (x + 1):
(x + 1) [a (x2 -x +1) + bx] = 0
(x + 1) [ax2 -ax +a + bx] = 0
(x + 1) [ax2 +x (b-a) +a] = 0.
In questo modo abbiamo scomposto il polinomio di partenza nel prodotto di due polinomi: uno di essi è
x + 1.
Questo significa che il polinomio ammette come radice
x = -1.
Infatti noi sappiamo che condizione necessaria e sufficiente affinché un POLINOMIO INTERO in x, P(x) sia divisibile per il binomio (x-a) è che il POLINOMIO si ANNULLI quando ad x si SOSTITUISCE a.
