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SISTEMI nei quali il NUMERO delle EQUAZIONI SUPERA quello delle INCOGNITE

 

Per comprendere  

 

Può accadere di dover risolvere un SISTEMA nel quale il NUMERO DELLE EQUAZIONI è SUPERIORE rispetto al NUMERO DELLE INCOGNITE.

Esempio:

Sistemi con un numero di equazioni superiore al numero delle incognite

 

Come possiamo notare questo è un sistema di tre equazioni lineari in due incognite.

Quando ci troviamo di fronte ad un SISTEMA nel quale il NUMERO DELLE EQUAZIONI è SUPERIORE rispetto al NUMERO DELLE INCOGNITE si possono verificare due situazioni:

  1. il SISTEMA è IMPOSSIBILE. E' questo quello che si verifica nella maggior parte dei casi;

  2. il SISTEMA è DETERMINATO.

 

Proviamo a risolvere il sistema indicato in precedenza. TRALASCIAMO UN'EQUAZIONE e risolviamo come se si trattasse di un sistema di due equazioni lineari in due incognite.

Ad esempio tralasciamo la terza equazione e avremo:

Sistemi con un numero di equazioni superiore al numero delle incognite

 

Sostituiamo il valore della y nella prima e avremo:

Sistemi con un numero di equazioni superiore al numero delle incognite

Sostituiamo il valore della x nella seconda equazione e avremo:

Sistemi con un numero di equazioni superiore al numero delle incognite

Ora proviamo a SOSTITUIRE I VALORI OTTENUTI NELLA TERZA EQUAZIONE. Avremo:

x - 2y = -3

2 - 2 (-3) = -3

2 +6 = -3

8 = -3.

Possiamo notare che quella scritta non è un'identità, quindi il sistema è impossibile perché i valori di x e y che abbiamo trovato non soddisfano contemporaneamente tutte e tre le equazioni del sistema.

 

Vediamo un altro esempio: 

Sistemi con un numero di equazioni superiore al numero delle incognite

 

TRALASCIAMO UN'EQUAZIONE e risolviamo come se si trattasse di un sistema di due equazioni lineari in due incognite.

Ad esempio tralasciamo la terza equazione e avremo:

Sistemi con un numero di equazioni superiore al numero delle incognite

 

Ora proviamo a SOSTITUIRE I VALORI OTTENUTI NELLA TERZA EQUAZIONE. Avremo:

x + 7y = 8

1 + 7 (1) = 8.

Possiamo notare che quella scritta è un'identità, quindi il sistema è determinato perché i valori di x e y che abbiamo trovato soddisfano contemporaneamente tutte e tre le equazioni del sistema.

 

Se osserviamo bene la terza equazione notiamo che essa si ottiene moltiplicando la prima per 2 e sottraendo, da questa nuova equazione ottenuta, la seconda. Per questa ragione si dice che essa è una conseguenza lineare delle prime due.

 

 

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