RAPPRESENTAZIONE DEL PRODOTTO CARTESIANO
- Nozione di insieme
- Insiemi finiti e infiniti
- Rappresentazione grafica di un insieme
- Coppie ordinate
- Prodotto cartesiano di insiemi
Nella lezione precedente abbiamo detto che dati due insiemi A e B non vuoti, si chiama PRODOTTO CARTESIANO di A e B, l'insieme C formato da tutte le COPPIE ORDINATE tali che il primo elemento appartiene ad A ed il secondo elemento appartiene a B.
In simboli scriveremo:
C = A x B
che si legge
C uguale A per B.
Consideriamo gli insiemi
A = {1, 5}
B = {2, 3, 4}.
Il loro prodotto cartesiano sarà:
A x B = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (5, 2), (5, 3) (5, 4)}.
Ora vogliamo rappresentare graficamente tale risultato utilizzando i DIAGRAMMI DI VENN.
Iniziamo col disegnare i due insiemi
Ora colleghiamo con delle frecce ogni elemento di A con ogni elemento di B:
La freccia indica l'ORDINE con il quale devono essere presi i vari elementi. Ad esempio, la freccia che collega 1 con 2 indica l'ordine col quale vanno considerati i componenti della coppia (1, 2).
Per questa ragione il grafico che abbiamo disegnato prende il nome di DIAGRAMMA A FRECCE di AxB. Questa rappresentazione del prodotto cartesiano di dice anche DIAGRAMMA SAGITTALE.
Questo modo di rappresentare il PRODOTTO CARTESIANO può non risultare molto chiaro quando il numero degli elementi di ciascun insieme sono molti e, quindi, le frecce da disegnare diventano tante e il grafico risulta poco leggibile.
Un secondo modo di rappresentare il PRODOTTO CARTESIANO è quello di usare una TABELLA A DOPPIA ENTRATA. Si tratta di una tabella nella quale nella PRIMA COLONNA indichiamo gli elementi che compongono l'insieme A, mentre nella PRIMA RIGA indichiamo gli elementi che compongono l'insieme B.
Su ogni cella successiva della tabella indicheremo la coppia di elementi formati dall'elemento di quella data riga e di quella data colonna.
Torniamo all'esempio precedente e vediamo come si presenta la TABELLA A DOPPIA ENTRATA.
Un ulteriore metodo per rappresentare il PRODOTTO CARTESIANO è il seguente.
Disegniamo una retta orientata che chiamiamo asse delle x. Quindi disegniamo una retta perpendicolare all'asse delle x in un punto che chiamiamo origine e che indichiamo con una o. Questa seconda retta la chiamiamo asse delle y.
Ora rappresentiamo gli elementi dell'insieme A con dei punti sull'asse delle x e gli elementi dell'insieme B con dei punti sull'asse delle y.
La parallela all'asse delle y passante per 1 e la parallela all'asse delle x passante per 2 si incontrano in un punto che possiamo prendere come rappresentativo della coppia (1, 2) e che chiameremo punto (1, 2).
La parallela all'asse delle y passante per 5 e la parallela all'asse delle x passante per 2 si incontrano in un punto che possiamo prendere come rappresentativo della coppia (5, 2) e che chiameremo punto (5, 2).
La parallela all'asse delle y passante per 1 e la parallela all'asse delle x passante per 3 si incontrano in un punto che possiamo prendere come rappresentativo della coppia (1, 3) e che chiameremo punto (1, 3).
La parallela all'asse delle y passante per 5 e la parallela all'asse delle x passante per 3 si incontrano in un punto che possiamo prendere come rappresentativo della coppia (5, 3) e che chiameremo punto (5, 3).
La parallela all'asse delle y passante per 1 e la parallela all'asse delle x passante per 4 si incontrano in un punto che possiamo prendere come rappresentativo della coppia (1, 4) e che chiameremo punto (1, 4).
La parallela all'asse delle y passante per 5 e la parallela all'asse delle x passante per 4 si incontrano in un punto che possiamo prendere come rappresentativo della coppia (5, 4) e che chiameremo punto (5, 4).
In questo modo ogni punto dell'insieme AxB ha uno ed un solo punto rappresentativo.
Quello che abbiamo disegnato prende il nome di DIAGRAMMA CARTESIANO di AxB.
Se uno dei due insiemi è INFINITO si è soliti rappresentare il PRODOTTO CARTESIANO con il DIAGRAMMA CARTESIANO del quale si disegna solamente la prima parte.
