EQUAZIONE DELLA CIRCONFERENZA PASSANTE PER TRE PUNTI
- Equazione della circonferenza
- Equazione della circonferenza: alcune considerazioni
- Sistemi di tre equazioni in tre incognite
- Metodo di sostituzione: sistemi di tre equazioni in tre incognite
In questa lezione vogliamo porci il problema di scrivere l'EQUAZIONE DELLA CIRCONFERENZA quando conosciamo TRE PUNTI per i quali essa passa:
P1 (x1; y1)
P2 (x2; y2)
P3 (x3; y3).
Noi sappiamo che l'equazione della circonferenza, nella sua forma canonica, è
x2 + y2 + ax + by + c = 0.
Chiaramente, per poter scrivere la nostra equazione, ci servono i valori di a, b e c.
Quando la circonferenza passa nel punto P1 essa diventa:
x12 + y12 + ax1 + by1 + c = 0.
Quando la circonferenza passa nel punto P2 essa diventa:
x22 + y22 + ax2 + by2 + c = 0.
Quando la circonferenza passa nel punto P3 essa diventa:
x32 + y32 + ax3 + by3 + c = 0.
Poiché la circonferenza passa per tutti e tre i punti, per risolvere il nostro problema è sufficiente mettere a sistema le tre equazioni: in questo modo troveremo i valori di a, b e c.
Affinché il problema ammetta soluzione è necessario che i tre punti non siano tra loro allineati.
Vediamo come procedere con un caso concreto.
Esempio:
scrivere l'equazione della circonferenza passante per i punti A(5; 3), B(7; -1), C(1; -2).
Partiamo dall'equazione della circonferenza
x2 + y2 + ax + by + c = 0.
Quando la circonferenza passa per il punto A essa diventa:
52 + 32 + 5a + 3b + c = 0.
Quando passa per il punto B diventa:
72 + (-1)2 + 7a - b + c = 0.
Quando passa per il punto C diventa:
12 + (-2)2 + a - 2b + c = 0.
Ora poniamo a sistema le tre equazioni:
Risolviamo il sistema:
Dalla prima equazione cerchiamo il valore di c e lo sostituiamo nella seconda e nella terza equazione:
Dalla seconda equazione cerchiamo il valore di a e lo sostituiamo nella prima e nella seconda equazione:
Ora sostituiamo il valore di b, trovato nella terza equazione, nella prima e nella seconda equazione:
Quindi, l'equazione della nostra circonferenza è:
x2 + y2 - 98/13x + 3/13y + 3 = 0.
