RIDUZIONE DI RADICALI ALLO STESSO INDICE

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Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:

• Proprietà invariantiva dei radicali
• Semplificazione dei radicali
• Semplificazione dei radicali: casi particolari
• Minimo comune multiplo
• Calcolo del minimo comune multiplo
• Divisione
• Scomposizione di un numero in fattori primi

La PROPRIETA' INVARIANTIVA dei RADICALI ci permette di TRASFORMARE due o più radicali in modo che essi abbiano tutti lo STESSO INDICE.

In questo modo potremo:

• CONFRONTARE radicali che hanno indici diversi;
• MOLTIPLICARE o DIVIDERE radicali che hanno indici diversi.

Vediamo come occorre procedere per RIDURRE due o più RADICALI allo STESSO INDICE:

1. per prima cosa bisogna SEMPLIFICARE i radicali, nel caso in cui ciò è possibile;
2. quindi si deve calcolare il minimo comune multiplo degli indici dei radicali. Tale minimo comune multiplo prende il nome di MINIMO COMUNE INDICE;
3. infine si deve TRASFORMARE ognuno dei radicali in un altro che abbia come indice il MINIMO COMUNE INDICE. Per fare ciò si usa la proprietà invariantiva. In altre parole:
   • si DIVIDE il MINIMO COMUNE INDICE per l'INDICE del radicale da trasformare;
   • si MOLTIPLICA il QUOZIENTE ottenuto:
     • sia per l'INDICE del radicale;
     • che per l'ESPONENTE del radicando.
     
     

Esempio:

vogliamo ridurre, allo stesso indice, i seguenti radicali

Iniziamo col semplificare i radicali per i quali ciò è possibile.

Il primo radicale non può essere semplificato.

Il secondo radicale non può essere semplificato, ma può essere scritto nel modo seguente:

Il terzo radicale può essere semplificato così:

Quindi, i nostri tre radicali, sono diventati:

A questo punto calcoliamo il MINIMO COMUNE INDICE, cioè il m.c.m. tra gli indici.

I nostri indici sono

4 , 9 , 3.

Ricordiamo che per calcolare il m.c.m. basta scomporre i numeri in fattori primi e moltiplicare i FATTORI PRIMI COMUNI e NON COMUNI, ciascuno preso una sola volta, col MASSIMO ESPONENTE.

Quindi

4 = 2²

9 = 3²

3 = 3

m.c.m. (4; 9; 3) = 2² x 3^{2 =} 4 x 9 = 36 .

Ora trasformiamo i nostri radicali, in radicali di indice 36.

Prediamo il primo radicale

e lo trasformiamo in un radicale di indice 36.

Per fare ciò:

• dividiamo il minimo comune indice 36 per l'indice del radicale 4, in modo da ottenere 9:

  36 : 4 = 9;

• moltiplichiamo il quoziente ottenuto 9 per l'indice del radicale 4 in modo da avere 36 che sarà l'indice del radicale nel quale andiamo a trasformare quello precedente

  
  
  

• moltiplichiamo il quoziente ottenuto 9 per l'esponente del radicando 1, in modo da avere 9 che sarà l'esponente del radicando della nuova radice

  
  
  

Passiamo al secondo radicale

• dividiamo il minimo comune indice 36 per l'indice del radicale 9, in modo da ottenere 4;
• moltiplichiamo il quoziente ottenuto 4, per l'indice del radicale 9 in modo da avere 36 che sarà l'indice del radicale nel quale andiamo a trasformare quello precedente;
• moltiplichiamo il quoziente ottenuto 4, per l'esponente del radicando 1 in modo da avere 4 che sarà l'esponente del radicando della nuova radice

  
  
  

Terminiamo con l'ultimo radicale

• dividiamo il minimo comune indice 36 per l'indice del radicale 3 in modo da ottenere 12;
• moltiplichiamo il quoziente ottenuto 12 per l'indice del radicale 3, in modo da avere 36 che sarà l'indice del radicale nel quale andiamo a trasformare quello precedente;
• moltiplichiamo il quoziente ottenuto 12, per l'esponente del radicando 1 in modo da avere 12 che sarà l'esponente del radicando della nuova radice

  
  
  

Quindi, i tre radicali

ridotti allo stesso indice, diventano

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