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PROBLEMI di SECONDO GRADO di GEOMETRIA

 

Per comprendere  

 

Equazioni di secondo grado e sistemi di secondo grado possono essere utilizzati anche per risolvere dei PROBLEMI DI GEOMETRIA. 

Ricordiamo che nei problemi geometrici l'equazione da impostare è spesso suggerita dai teoremi applicabili al caso concreto.

Vediamo alcuni esempi di problemi geometrici di secondo grado.

 

Esempio 1:

L'area di un triangolo isoscele è di 588 metri quadrati. L'altezza del triangolo è i 2/3 della base. Trovare quanto misura la base e quanto misura l'altezza.

Iniziamo col chiamare b la base ed h l'altezza: esse sono le nostre incognite. Ovviamente avremmo potuto usare anche x ed y. Ma abbiamo preferito usare b ed h perché il loro impiego ci sembra più semplice.

L'area del triangolo, pari a 588 m2, sappiamo che è data da base per altezza. Quindi possiamo scrivere:

b∙h =588.

Poiché noi abbiamo due incognite (b ed h) dobbiamo impostare un sistema di due equazioni in due incognite.

Vediamo, allora, qual è la seconda equazione.

Noi sappiamo che l'altezza del triangolo (cioè h) è pari ai 2/3 della base (cioè i 2/3 di b). Quindi possiamo scrivere

h = 2/3 b.

 

Quindi, il nostro sistema sarà:

 

Problemi di II grado di geometria

 

Risolviamo il sistema e avremo:

 Problemi di II grado di geometria

Abbiamo trovato il valore di b, cioè della base: trattandosi di un segmento prenderemo solamente il valore con segno positivo, quindi +42. Sostituiamo tale valore nella seconda equazione e otteniamo:

Problemi di II grado di geometria

 

Quindi il nostro triangolo ha la base di 42 centimetri e l'altezza di 28 centimetri.

 

 

Esempio 2:

Calcolare le lunghezze dei lati di un triangolo rettangolo sapendo che il cateto maggiore e l'ipotenusa superano, rispettivamente, di 7 m e di 8 m il cateto minore.

Chiamiamo con:

cm - il cateto minore

cM - il cateto maggiore

i - l'ipotenusa.

 

Noi sappiamo che il cateto maggiore supera il cateto minore di 7 m. Cioè:

cM = cm + 7

e che l'ipotenusa supera il cateto minore di 8 m. Cioè:

i = cm + 8

inoltre dal teorema di Pitagora noi sappiamo che in un triangolo rettangolo l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruite sui cateti, cioè:

cM2 + cm2 = i2.

Ora, sostituiamo a cM,  cm + 7 e ad i sostituiamo cm + 8, avremo:

(cm + 7)2 + cm2 = (cm + 8)2.

 

Abbiamo così scritto un'equazione in una sola incognita. Risolviamo:

cm2 + 49 + 14cm + cm2 = cm2 + 64 +16cm

cm2 + cm- cm2 + 14cm - 16cm + 49 - 64 = 0

cm2 - 2cm  - 15 = 0.

 

Problemi di II grado di geometria

Poiché cm rappresenta una lunghezza escludiamo il risultato negativo: quindi il risultato cercato sarà 5.

Ora possiamo trovare quanto misurano il cateto maggiore e l'ipotenusa:

cM = cm + 7 = 5 +7 = 12

i = cm + 8 = 5 + 8 = 13.

 

 

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