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PROBLEMI di PRIMO GRADO a DUE INCOGNITE

 

Per comprendere  

 

Vediamo ora, attraverso degli esempi, come si risolvono i PROBLEMI di PRIMO GRADO a DUE INCOGNITE

Quando parliamo di PROBLEMI di PRIMO GRADO a DUE INCOGNITE intendiamo dei problemi che possono essere risolti con un SISTEMA di due EQUAZIONI di PRIMO GRADO a DUE INCOGNITE.

 

Esempio 1:

Trovare due numeri sapendo che aggiungendo 12 al maggiore si ottiene il doppio della somma di 5 con il minore e che sottraendo 2 dal maggiore si ottiene il triplo della differenza tra il minore e 3.

 

Iniziamo col chiamare x e y i due numeri. In particolare consideriamo che

  • x è il numero maggiore;

  • y è il numero minore.

Ora sappiamo che aggiungendo 12 al maggiore, cioè alla x, si ottiene il doppio della somma di 5 con il minore, cioè la y.

Quindi:

12 + x = 2 (5 +y).

Inoltre sappiamo che sottraendo 2 dal maggiore, cioè alla x, si ottiene il triplo della differenza tra il minore, cioè la y, e il numero 3.

Quindi:

x - 2 = 3 (y - 3).

 

Trovate le due equazioni impostiamo e risolviamo il sistema:

 

Problemi di I grado a due incognite

Problemi di I grado a due incognite

Problemi di I grado a due incognite

I due numeri sono 8 e 5.

 

Esempio 2:

Un numero è formato da tre cifre la cui somma è pari a 11. La cifra delle decine è il doppio della cifra delle centinaia. Scambiando tra loro la cifra delle decine e quella delle centinaia il numero aumenta di 270. Qual è questo numero?

Il nostro numero ha tre cifre. Chiamiamo con U la cifra delle unità, con D quella delle decine e con C quella delle centinaia.

Il nostro numero sarà:

C D U

 

Noi sappiamo che la cifra delle decine è il doppio di quella delle centinaia. Quindi:

 

C D U
C 2C U

Ora indichiamo con 

  • x la cifra delle centinaia;

  • y la cifra delle unità.

Possiamo scrivere:

C D U
C 2C U
x 2x y

La somma di queste tre cifre è 11. Quindi la nostra prima equazione è :

x + 2x + y =11.

 

Sappiamo poi che se scambiamo tra loro la cifra delle decine e quella delle centinaia il numero aumenta di 270.

Iniziamo col dire che il nostro numero può essere espresso così:

100C + 10D + y

ovvero

100x + (10) 2x + y.

 

Cerchiamo di capire il perché con un esempio numerico. Se io avessi il numero 325:

  • 3, 2, 5 sono le tre cifre del numero;

  • il numero può essere espresso come 

3 · 100 + 2 · 10 + 5.

 

Noi sappiamo che se cambiamo tra loro la cifra delle decine e quella delle centinaia, il numero aumenta di 270.

Cambiando la cifra delle decine con quella delle centinaia le tre cifre del numero sarebbero:

Numero di partenza Numero con cifre spostate
C D U
C 2C U
x 2x y
D C U
2C C U
2x x y

Il primo numero abbiamo detto che può essere espresso così:

100x + (10) 2x + y.

Il secondo numero può essere espresso così:

200x + (10) x + y.

La relazione che lega i due numeri è che il secondo supera di 270 il primo, quindi:

100x + (10) 2x + y = 200x + (10) x + y +270.

Ovvero

100x + 20x + y = 200x + 10x + y +270.

 

Trovate le due equazioni impostiamo e risolviamo il sistema:

Problemi di I grado a due incognite

Problemi di I grado a due incognite

Quindi il nostro numero sarà:

C D U
C 2C U
x 2x y
3 6 2

 

Esempio 3:

In una frazione impropria la differenza tra i termini è 13. Aggiungendo 10 al numeratore e 2 al denominatore si ottiene una nuova frazione il cui numeratore è quadruplo del denominatore. Determinare la frazione.

Indichiamo con x ed y i termini della frazione. In particolare:

  • x è il numeratore della frazione;

  • y è il denominatore della frazione.

Quindi la nostra frazione sarà:

x/ y

Essendo la frazione impropria significa che 

x > y.

 

Ora sappiamo che la differenza tra i termini della frazione è 13. Quindi:

x - y = 13.

 

Ora sommiamo 10 al numeratore e 2 al denominatore avremo:

(x + 10)/ (y+2).

Questa nuova frazione è uguale ad una frazione il cui numeratore è quadruplo del denominatore. Ma se il denominatore della nostra frazione è 

(y+2)

la nuova frazione può essere espressa come

4(y+2)/ (y+2).

Quindi:

(x + 10)/ (y+2) = 4(y+2)/ (y+2).

Trovate le due equazioni impostiamo il sistema e risolviamo:

Problemi di I grado a due incognite

Problemi di I grado a due incognite

Quindi la nostra frazione è 18/5.

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