PROPRIETA' DEI POLIGONI SIMILI
- Poligoni simili
- Similitudine
- Perimetro di un poligono
- Diagonale di un poligono
- Trapezio
- Mediane
- Baricentro
- Apotema di un poligono
- Area dei poligoni
- Area del trapezio
- Elevamento a potenza
Disegniamo due POLIGONI SIMILI il cui RAPPORTO DI SIMILITUDINE sia 1/2.
Le misure dei lati dei due poligoni sono le seguenti:
| FIGURA ABCD | FIGURA A'B'C'D' |
|---|---|
| AB = 1,9 cm | A'B' = 3,8 cm |
| BC = 2,0 cm | B'C' = 4,0 cm |
| DC = 2,7 cm | D'C' = 5,4 cm |
| AD = 1,8 cm | A'D' = 3,6 cm |
| P = 8,4 cm | P' = 8,4 cm |
Come possiamo notare, il RAPPORTO DI SIMILITUDINE di 1/2 si mantiene uguale anche per i perimetri P e P', infatti:
P/ P' = 8,4/ 16,8 = 1/2.
Ora misuriamo le DIAGONALI dei due poligoni:
| FIGURA ABCD | FIGURA A'B'C'D' |
|---|---|
| AC = 3,3 cm | A'C' = 6,6 cm |
| BD = 2,5 cm | B'D' = 5,0 cm |
Come possiamo notare il RAPPORTO DI SIMILITUDINE tra le diagonali è ancora 1/2.
Nel nostro esempio abbiamo disegnato due trapezi simili. Ma il discorso che abbiamo fatto è valido per ogni coppia di poligoni simili e per tutti i segmenti corrispondenti che possiamo disegnare: ALTEZZE, MEDIANE, BARICENTRI, APOTEMI, ecc..
Noteremo che il RAPPORTO DI SIMILITUDINE rimane sempre lo stesso.
Ora passiamo a considerare l'AREA dei due poligoni.
Ricordiamo che l'area del trapezio si calcola applicando la formula:
Applichiamo la formula:
| FIGURA ABCD | FIGURA A'B'C'D' |
|---|---|
| b1 = DC = 2,7 cm | b1 = D'C' = 5,4 cm |
| b2 = AB = 1,9 cm | b2 = A'B' = 3,8 cm |
| h = AD = 1,8 cm | h = A'D' = 3,6 cm |
| A = 4,14 cm2 | A' = 16,56 cm2 |
Ora calcoliamo il rapporto tra le due aree. Avremo:
A/ A' = 4,14/ 16,56 = 1/4.
Confrontiamo questo rapporto con il RAPPORTO DI SIMILITUDINE che è pari ad 1/2 e notiamo che il rapporto tra le AREE è uguale al QUADRATO del RAPPORTO DI SIMILITUDINE. Infatti:
A/ A' = 1/4
Rapporto similitudine = 1/2
1/4 = (1/2)2.
Ancora una volta il discorso appena fatto, non vale solo per i trapezi simili, ma per ogni coppia di poligoni simili.
Concludendo possiamo affermare che, in due POLIGONI SIMILI:
- il RAPPORTO tra i PERIMETRI è uguale al RAPPORTO DI SIMILITUDINE;
- il RAPPORTO tra due qualsiasi segmenti corrispondenti (altezze, diagonali, mediante, baricentri, apotema, ecc..) è uguale al RAPPORTO DI SIMILITUDINE;
- il RAPPORTO tra le AREE è uguale al QUADRATO del RAPPORTO DI SIMILITUDINE.
