EQAUAIONE DELLA PARABOLA PASSANTE PER UN PUNTO DATO IL VERTICE
In questa lezione cercheremo di comprendere come è possibile scrivere l'EQUAZIONE della PARABOLA conoscendo il VERTICE e le coordinate di un PUNTO per i quali essa passa.
Esempio:
scrivere l'equazione della parabola avente come vertice
V (1; -2)
e passante per il punto
P (0; 3).
Ricordiamo che l'equazione della parabola è:
y = ax2 + bx + c
e che le coordinate del vertice sono:
V ( -b/2a ; -Δ/ 4a).
Se un punto appartiene ad una parabola, le sue coordinate ne verificano l’equazione: quindi, la parabola passante per V sarà:
-2 = a(1)2 + b(1) + c
-2 = a + b + c.
La parabola passante per P sarà:
3 = a(0)2 + b(0) + c
3 = c.
Non è sufficiente mettere a sistema queste due equazioni per trovare la nostra parabola. Infatti noi dobbiamo cercare tre incognite (a, b, c): quindi abbiamo bisogno di tre equazioni.
Però noi sappiamo le coordinate del vertice, quindi possiamo scrivere:
-b/2a = 1.
A questo punto possiamo risolvere il SISTEMA TRA LE TRE EQUAZIONI:
Sostituiamo il valore di c nella prima equazione:
Troviamo il valore di a nella prima equazione:
Sostituiamo il valore di a nell'ultima equazione:
Ricaviamo il valore di b dall'ultima equazione:
Ora sostituiamo il valore di b nella prima:
Sostituiamo i valori di a, b, c nell'equazione generale della parabola e avremo:
y = 5 x2 -10 x + 3.
In maniera simile si risolvono i problemi nei quali sono noti 2 PUNTI e l'ASSE DI SIMMETRIA. In questo caso si tratta di risolvere il sistema formato dall'equazione della parabola passante per il primo punto, l'equazione della parabola passante per il secondo punto e l'equazione dell'asse di simmetria.
