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CALCOLO del M.C.D. con la SCOMPOSIZIONE in FATTORI PRIMI

 

Per approfondire  

 

Come sappiamo il MASSIMO COMUNE DIVISORE di due o più numeri, che abbreviamo con M.C.D., è il MAGGIORE dei loro DIVISORI COMUNI.

Uno dei metodi più impiegati per calcolar il M.C.D. di due o più numeri si basa sulla loro SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI.

Essa afferma che il M.C.D. di due o più numeri si ottiene SCOMPONENDO tali numeri in FATTORI PRIMI  e moltiplicando i FATTORI PRIMI COMUNI, ciascuno preso una sola volta, col MINIMO ESPONENTE (vedi lezione 03).

 

Cerchiamo di capirne il perché attraverso un esempio: vogliamo calcolare il M.C.D. tra i numeri 594, 360, 150.

 

M.C.D. (594; 360; 150).

 

Il CRITERIO GENERALE DI DIVISIBILITA' ci dice che un numero è DIVISIBILE per un altro quando, SCOMPONENDO entrambi  in FATTORI PRIMI, il PRIMO numero CONTIENE TUTTI I FATTORI PRIMI presenti nel secondo con ESPONENTI MAGGIORI o UGUALI.

Il numero che noi stiamo cercando deve essere divisore sia di 594 che di 360 che di 150. Quindi esso dovrà contenere quei fattori primi presenti in tutti e tre i numeri dati e tali fattori primi dovranno avere un esponente uguale o inferire rispetto agli esponenti con i quali essi sono presenti in tali numeri.

Quindi il nostro divisore comune conterrà il fattore primo 2 e il fattore primo 3 che sono gli unici presenti in tutti e tre i numeri.

Il nostro numero:

  • per essere divisore di 594, dovrà contenere il fattore primo 2 con esponente massimo 1;
  • per essere divisore di 360, dovrà contenere il fattore primo 2 con esponente massimo 3;
  • per essere divisore di 150, dovrà contenere il fattore primo 2 con esponente massimo 1.

Quindi, per essere contemporaneamente divisore di tutti e tre dovrà contenere il fattore primo 2 con esponente massimo 1.

 

Stesso discorso per il fattore primo 3.

Il nostro numero:

  • per essere divisore di 594, dovrà contenere il fattore primo 3 con esponente massimo 3;
  • per essere divisore di 360, dovrà contenere il fattore primo 3 con esponente massimo 2;
  • per essere divisore di 150, dovrà contenere il fattore primo 3 con esponente massimo 1.

Quindi, per essere contemporaneamente divisore di tutti e tre dovrà contenere il fattore primo 3 con esponente massimo 1.

Di conseguenza possiamo dire che il più grande divisore comune di tutti e tre i numeri dati è:

 

2 x 3 = 6.

Cioè:

M.C.D. (594; 360; 150) = 6.

 

Da qui la regola generale secondo la quale il M.C.D. di due o più numeri si ottiene SCOMPONENDO tali numeri in FATTORI PRIMI  e moltiplicando i FATTORI PRIMI COMUNI, ciascuno preso una sola volta, col MINIMO ESPONENTE.

 

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