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DISEQUAZIONI ESPONENZIALI con potenze aventi la STESSA BASE

 

 



Per comprendere  

 

Iniziamo a vedere come si risolvono le DISEQUAZIONI ESPONENZIALI partendo da quelle nelle quali compaiono a primo e secondo membro due POTENZE aventi la STESSA BASE, ma DIVERSO ESPONENTE

Queste disequazioni si possono presentare in una delle seguenti forme:

af(x) > ag(x)

af(x) < ag(x)

af(x) ag(x)

af(x) ag(x).

 

 

Per risolvere questo tipo di disequazione dobbiamo ricordare che la FUNZIONE ESPONENZIALE:

  • è una FUNZIONE CRESCENTE quando 

    a > 1.

    In questo caso al crescere dell'esponente cresce anche il valore della y;

 

 

  • è una FUNZIONE DECRESCENTE quando 

    0 > a > 1.

    In questo caso al crescere dell'esponente il valore della y si riduce.

 

 

Proprio per quello che è l'andamento della funzione esponenziale, nel risolvere le disequazioni esponenziali, dobbiamo distinguere il caso in cui 

a > 1

dal caso in cui

0 > a > 1.

 

 

Dallo studio delle equazioni esponenziali noi sappiamo che l'equazione

af(x) = ag(x)

si risolve ponendo 

f(x) = g(x).

 

Nel momento in cui passiamo dal risolvere le equazioni, al risolvere le disequazioni, entra in gioco il valore di a e l'andamento della funzione esponenziale. Infatti:

  • se a > 1 essendo la funzione crescente, significa che, se

af(x) > ag(x)

anche

f(x) > g(x).

 

Vediamo un esempio direttamente sul grafico della funzione esponenziale:

 

Risoluzioni di disequazioni esponenziali

 

Chiaramente significa anche che, se

af(x) < ag(x)

anche

f(x) < g(x)

 

Vediamolo ricorrendo ad un esempio grafico:

Risoluzioni di disequazioni esponenziali

 

 

  • invece se  0 < a < 1 essendo la funzione decrescente, avremo che, quando

    af(x) > ag(x)

    sarà

    f(x) < g(x).

 

Vediamolo graficamente:

Risoluzioni di disequazioni esponenziali

 

E quando

af(x) < ag(x)

sarà

f(x) > g(x).

 

Vediamo anche questo caso con un grafico:

Risoluzioni di disequazioni esponenziali

 

 

 

 

Di conseguenza, per risolvere questo tipo di disequazioni:

  • se a > 1, il VERSO della disequazione resta INVARIATO

quindi, 

per risolvere    af(x) > ag(x)     pongo     f(x) > g(x)

e per risolvere    af(x) < ag(x)     pongo     f(x) < g(x)

 

  • se 0 < a < 1, il VERSO della disequazione CAMBIA

quindi, 

per risolvere    af(x) > ag(x)     pongo     f(x) < g(x)

e per risolvere    af(x) < ag(x)     pongo     f(x) > g(x).

 

Vediamo alcuni esempi.

Esempio 1:

24x+3 > 25x - 2.

Ci troviamo di fronte ad una disequazione che ha, a primo e secondo membro, due potenze della stessa base, mentre gli esponenti sono diversi.

Per prima cosa dobbiamo verificare se la base è maggiore di uno o è compresa tra 0 e 1. Essendo la base 2 rientra nel caso in cui

a > 1

quindi dobbiamo risolvere una disequazione tra gli esponenti delle potenze lasciando invariato il verso della disequazione:

4x + 3 > 5x - 2.

Risolviamo

4x - 5x > - 2 - 3

- x > -5

x < 5.

 

 

Esempio 2:

(1/2)x+2 ≤ (1/2)2x-3.

Anche in questo caso la disequazione ha, a primo e secondo membro, due potenze della stessa base con esponenti diversi.

Notiamo che la base, pari ad 1/2, è compresa tra 0 e 1, quindi dobbiamo risolvere una disequazione tra gli esponenti delle potenze andando a cambiare il verso della disequazione:

x+2 ≥ 2x-3.

Risolviamo

x+2 ≥ 2x - 3

x - 2x ≥ -3 -2

-x ≥ -5

x 5.

 

 

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