RELAZIONE TRA COEFFICIENTI E RADICI DI UN'EQUAZIONE DI SECODO GRADO

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Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:

• Equazioni di secondo grado ad una incognita
• Equazioni di secondo grado complete
• Discriminante di un'equazione di secondo grado
• Fattorizzazione di un trinomio di secondo grado
• Relazione tra i coefficienti e le radici di un'equazione di secondo grado
• Raccoglimento a fattor comune parziale

Abbiamo appreso in una lezione precedente che in un'equazione di secondo grado con DISCRIMINANTE NON NEGATIVO:

• la SOMMA DELLE RADICI è uguale all'OPPOSTO del RAPPORTO tra il COEFFICIENTE del TERMINE di PRIMO GRADO e il COEFFICIENTE del TERMINE di SECONDO GRADO ovvero

  x₁ +x₂ = -b/a

  
  
  
• e che il PRODOTTO DELLE RADICI è uguale al RAPPORTO tra il TERMINE NOTO e il COEFFICIENTE del TERMINE di SECONDO GRADO.Ovvero

  x₁x₂ = c/a.

Cerchiamo di comprendere meglio come si giunge a questa RELAZIONE tra i COEFFICIENTI dell'equazione e le sue RADICI.

Noi sappiamo che un'EQUAZIONE di SECONDO GRADO con DISCRIMINANTE POSITIVO ha due radici distinte che chiamiamo x₁ e x₂.

Sappiamo inoltre che, in questo caso, il TRINOMIO di SECONDO GRADO è senz'altro DIVISIBILE per il prodotto

(x - x₁) (x-x₂).

Proviamo ora ad eseguire tale prodotto. Avremo:

x² -xx₂ -xx₁ +x₁x₂.

Mettiamo in evidenza -x tra il primo e il secondo addendo:

x² -x(x₂ +x₁) +x₁x₂.

Ora noi sappiamo che

Di conseguenza

x₂ +x₁

può essere scritto anche come:

Mentre

Ora noi sappiamo che

Δ = b² - 4ac.

Sostituendola al delta avremo:

Abbiamo così dimostrato le relazioni esistenti tra i coefficienti e le radici di un'equazione di secondo grado.

Indice degli argomenti sulle equazioni di secondo grado ad una incognita

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